Kinematik I

Referenzrahmen und Koordinatensysteme

• Zunächst wählst du einen Startpunkt im Gelände aus, von welchem die Drohne aus abhebt und zu dem sie zum Landen wieder zurückkehrt. Dieser Punkt ist dein Referenzobjekt, der Ursprung 0 für den Flugplan.
  
• Ausgehend von diesem Punkt legst du dann fest, in welche spezifischen Richtungen die Drohne sich bewegen soll.
• Nun stellst du noch andere Parameter wie zum Beispiel die Flughöhe und die Aufnahme der Bilder ein - und schon kannst du mit der Befliegung beginnen!  
  

In demselben Bezugssystem können unterschiedliche Koordinatensysteme verwendet werden, d.h. unterschiedliche Möglichkeiten, die Lage der Objektpunkte in Bezug auf den Ursprung und die Achsen anzugeben. Wenn wir doch noch mal zur Drohnen-Befliegung zurückzukommen, ist es wichtig zu wissen, welches Koordinatensystem die Drohne nutzt und wie man darauf aufbauend die Ergebnisse auswerten und interpretieren kann.

Das System, das wir am häufigsten zur Beschreibung von Bewegung verwenden werden, ist das kartesische Koordinatensystem. Es besteht aus den Achsen x, y und z und ist im nachfolgenden Bild dargestellt. Die anderen beiden wichtigen Koordinatensysteme in drei Dimensionen sind zylindrisch und sphärisch 💡

Positionsvektor

Wenn wir einen Punkt $P(x,y,z)$ zur Darstellung eines Objekts wählen, wird seine Position zu jedem Zeitpunkt durch den Positionsvektor $\vec{r}(t)$ - oder auch Ortsvektor - in einem gegebenen Bezugssystem angegeben. Die Funktion $\vec{r}(t)$ enthält alle Informationen über die Bewegung.
Die Funktion ermöglicht es uns, ...

• zu wissen, wo sich das Objekt zu einem beliebigen Zeitpunkt in der Vergangenheit befunden hat,
• vorherzusagen, wo sich das Objekt zu einem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft befinden wird.

Der Positionsvektor $\vec{r}(t)$ kann durch die drei skalaren Komponenten ausgedrückt werden, die Funktionen der Zeit sind: $\vec{r}(t)= \vec{x}(t)\widehat{x} +\vec{y}(t)\widehat{y}+\vec{z}(t)\widehat{z}$

Wobei $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ die Einheitsvektoren entlang der drei orthogonalen Richtungen im kartesischen Koordinatensystem sind. 🧐

Parameterdarstellung

Die Funktionen $x(t), y(t), z(t)$ sind unabhängige Bewegungsbeschreibungen entlang jeder der kartesischen Koordinaten. Wie an dem "t" zu erkennen ist, hängen sie von einer gemeinsamen Variablen, der Zeit $t$ ab und werden parametrische Bewegungsgleichungen genannt. Die gemeinsame Variable Zeit wird als Parameter bezeichnet.

Die drei Parametrische Bewegungsgleichungen lauten also:

• $x=x(t)$
• $y=y(t)$
• $z=z(t)$
  

 Flugbahn/ Trajektorie

Um die Beziehung zwischen den Koordinaten zu jedem Zeitpunkt - also unabhängig von der Zeit $t$ - auszudrücken, entfernt man den Zeitparameter aus den parametrischen Bewegungsgleichungen  $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$ mittels algebraischer Operationen.

In der Physik wird die Trajektorie oder auch Flugbahn eines Körpers durch die geometrischen Orte der aufeinanderfolgenden Positionen des sich bewegenden Körpers beschrieben:

• Wenn die Punkte, die der sich bewegende Körper in aufeinanderfolgenden Momenten einnimmt, in einer gekrümmten Linie liegen, wird die Flugbahn als krummlinig bezeichnet. 〰️ Ein Beispiel für einen krummlinigen Verlauf wäre der Start und der darauffolgenden Steigflug eines Flugzeuges. ✈️
• Wenn die Punkte auf einer geraden Linie liegen, wird der Pfad als geradlinig bezeichnet. ➖ Ein Beispiel für den geradlinige Verlauf einer Bewegungsbahn wäre die Bewegung der Eisenbahn. 🚂
  

⚠️ Wir konzentrieren uns nachfolgend auf die Untersuchung der geradlinigen Bewegung. ⚠️

Position in geradliniger Bewegung

Wenn sich das Objekt auf einem geradlinigen Pfad bewegt, ist es praktisch, den Referenzrahmen so zu wählen, dass eine seiner Achsen (z. B. die x-Achse) mit der Bewegungsrichtung zusammenfällt. 💡
Auf diese Weise hat der Ortsvektor $\vec{r}(t)$ nur eine Komponente: $r(t)=x(t)\widehat{x}$

Wenn wir eine geradlinige Bewegung analysieren, können wir uns die Arbeit also vereinfachen, indem wir den Einheitsvektor $\widehat{x}$ aus dem Ortsvektor entfernen und nur mit seiner skalaren Komponente$x(t)$ arbeiten. Das gleiche Prinzip der "Vereinfachung" können wir bei anderen vektoriellen Größen wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung anwenden.

Verschiebung

Wenn $\vec{x}_1$  deine Position zum Zeitpunkt $t_1$ und $\vec{x}_2$ deine Position zum Zeitpunkt$t_2$  ist, dann ist der Verschiebungsvektor die Änderung des Positionsvektors in diesem Zeitintervall.

Wichtig ist es, den Unterschied zwischen zurückgelegter Strecke (also dem Weg) und Verschiebung zu beachten! Das folgende Beispiel hilft dabei, diesen Unterschied verständlich zu machen:

Beispiel: 

Wenn eine Person zunächst $20 m$ nach rechts und dann $12 m$ nach links zurückgeht, beträgt die in diesem Gesamtzeitintervall zurückgelegte Strecke (also dem Weg) $D = 20 + 12 = 32 m$. Die Verschiebung ist allerdings nur $\Delta \vec{x}$, also nur $8 m$ nach rechts.

Mittlere Geschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit - oder auch Durchschnittsgeschwindigkeit - eines Objekts ist definiert als das Verhältnis des Weges und des verstrichenen Zeitintervalls 🚴‍♀️ ⏱

Die mittlere Geschwindigkeit beschreibt das globale Verhalten der Bewegung während eines bestimmten Intervalls. Die mittlere Geschwindigkeit wird genutzt, da es nicht sinnvoll ist, die Details zu jedem einzelnen Moment zu beschreiben.

Momentangeschwindigkeit

Die Momentangeschwindigkeit $\vec{v}$ ist die Geschwindigkeit in einem beliebigen Moment. Spezifischer ausgedrückt, ist die Momentangeschwindigkeit definiert als die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem unendlich kurzen Intervall. Genau genommen ist $\vec{v}$ der Limes des Verhältnisses ( $\Delta \vec{x} / \Delta t)$, wenn sich $\Delta t$ Null nähert, per Definition ist es die zeitliche Ableitung der Position $x$.

Mittlere Beschleunigung

Die mittlere Beschleunigung - auch durchschnittliche Beschleunigung - eines Objekts während eines bestimmten Zeitintervalls, ist das Verhältnis der Änderung seiner Geschwindigkeit $\Delta \vec{v}$ und des Zeitintervalls $\Delta t$.

Beschleunigung und Verzögerung

Wenn die Beschleunigung die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit hat, bedeutet dies, dass ihr absoluter Wert zunimmt und die Bewegung als beschleunigt bezeichnet wird. Wenn andererseits die Beschleunigung und die Geschwindigkeit entgegengesetzte Richtungen haben, bedeutet dies, dass der Absolutwert der Geschwindigkeit abnimmt und die Bewegung verlangsamt wird.
Beachte, dass es für eine beschleunigte oder verzögerte Bewegung nicht auf das isolierte Vorzeichen der Beschleunigung ankommt, sondern darauf, dass die Vektoren $\vec{a}$ und  $\vec{v}$ gleiche Vorzeichen (Beschleunigung) und ihr Gegenteil (Verzögerung) haben.

Bewegung mit variabler Beschleunigung

Man findet durch Ableitung und aus der Positionsfunktion $x(t)$ die Geschwindigkeit $v(t)$ und die Beschleunigung $a(t)$. Der umgekehrte Vorgang ist ebenfalls möglich und besteht darin, durch Integration die Position bei gegebener Geschwindigkeit oder Beschleunigung zu finden.

Angenommen, die Beschleunigung ist als Funktion der Zeit $a(t)$ bekannt. Um die Geschwindigkeit zu erhalten, gehen wir von der Definition der Beschleunigung aus.

$a(t)= \frac{dv}{dt} \Rightarrow v(t)= \int_{}^{}{a(t)dt} +C_1$

Dann finden wir aus der Geschwindigkeit die Position:

$v(t)= \frac{dx(t)}{dt} \Rightarrow x(t)= \int_{}^{}{v(t) dt} +C_2$

Wobei die Konstanten $C_1$ und $C_2$ durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Die Integrationstechnik ermöglicht es uns, die geradlinigen kinematischen Gleichungen zu erhalten, wenn die Beschleunigung eine bekannte Funktion der Zeit ist und wenn die Position und Geschwindigkeit zum Anfangszeitpunkt bekannt sind.

Freier Fall

Eine der interessantesten Anwendungen der Gleichungen für geradlinige Bewegung mit gleichmäßiger Beschleunigung ist der Fall eines frei fallenden Objekts im Gravitationsfeld der Erde. Als der weise Mann Galileo Galilei den Fall von Körpern durch Experimente untersuchte, kam er zu folgendem Schluss:

„Überall in der Nähe der Erdoberfläche und ohne Luftwiderstand fallen alle Objekte mit der gleichen Beschleunigung“

Und womit hat diese Entdeckung zu tun? 🤔 Galileo beschreibt hier das Phänomen der Erdbeschleunigung, welches die Fallbeschleunigung auf der Erde ist.
Die Erdbeschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche hat einen ungefähren Wert:

$g= 9,8 m/s^2$

Beachte, dass die Schwerkraft immer nach unten (zum Erdmittelpunkt) zeigt und daher das Vorzeichen der Beschleunigung $a= \pm g$ davon abhängt, welche der beiden Richtungen (oben oder unten) im Koordinatensystem verwendet wird.

Als wir die geradlinige Bewegung untersuchten, betonten wir, dass sowohl Verschiebung als auch Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektorgrößen sind. Der Vektorcharakter wurde jedoch nicht deutlich, außer wenn wir der Richtung des entsprechenden Vektors auf einer bestimmten Linie ein positives oder negatives Vorzeichen zuwiesen. Unsere reale Welt ist aber (zum Glück 😉) dreidimensional und um Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen zu beschreiben, müssen wir berücksichtigen, dass die physikalischen Größen notwendigerweise eine Richtung und Bedeutung im Raum haben 📝. 

In diesem Abschnitt analysieren wir, wie im Fall der eindimensionalen Bewegung, die Vektorgleichungen für die Bewegung in zwei und drei Dimensionen lautet, ausgehend von den Definitionen von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Wir betrachten dabei den Spezialfall der Bewegung mit konstanter Beschleunigung, die in einer Ebene auftritt, und insbesondere die Bewegung von Projektilen ↖️⚾️💨 , deren parabelförmige Trajektorie sehr leicht zu analysieren ist, weil sie sich die Unabhängigkeit der horizontalen  ➡️ und vertikalen ⬆️  Bewegung zunutze macht.

Vektorposition

Die relative Position eines Objekts in Bezug auf ein Bezugssystem wird durch den Positionsvektor oder durch den Vektor $\vec{r}$ angegeben. Dieser erstreckt sich vom Ursprung $0$bis zum repräsentativen Punkt $P$ des Objekts.

In einem kartesischen Koordinatensystem $(x,y,z)$ ist der Positionsvektor:

$\vec{r} =x\widehat{x}+y\widehat{y}+z\widehat{z}$

Wobei $(\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z})$ die jeweiligen Einheitsvektoren sind.

Verschiebungsvektor

Während eines Delta-Zeitintervalls t ist die Verschiebung des Objekts die Differenz der beiden entsprechenden Positionsvektoren:

$\Delta \vec{r}= \vec{r_2}- \vec{r_1}$

In kartesischen Koordinaten hat der Verschiebungsvektor die Verschiebungen auf jeder der Achsen als Komponenten.

$\Delta \vec{r} =(x_2 -x_1) \widehat{x}+(y_2-y_1) \widehat{y}+(z_2-z_1) \widehat{z}$

$\Delta \vec{r} = \Delta x\widehat{x}+ \Delta y\widehat{y}+ \Delta z\widehat{z}$

Mittlere Geschwindigkeit

Der mittlere Geschwindigkeitsvektor während eines Zeitintervalls, $\delta t$ , ist definiert als der Quotient aus dem Verschiebungsvektor und dem Zeitintervall:

$\vec{v_m}=\frac{ \Delta \vec{r}}{ \Delta \vec{t}}$

In kartesischen Koordinaten hat die Durchschnittsgeschwindigkeit die Geschwindigkeiten auf jeder der Achsen als Komponenten.

Momentangeschwindigkeit

Der Momentangeschwindigkeitsvektor ist die Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn das Zeitintervall Delta t gegen Null geht:

$\vec{v} =lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} =\frac{d \vec{r} }{dt}$

Die Momentangeschwindigkeit ist also die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. Wenn wir in kartesischen Koordinaten arbeiten, sind die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors folgende:

$\vec{v} =\frac{dx}{dt}\widehat{x}+\frac{dy}{dt}\widehat{y}+\frac{dz}{dt}\widehat{z}=v_x\widehat{x}+v_y\widehat{y}+v_z\widehat{z}$

Der momentane Geschwindigkeitsgröße ist:

$| \vec{v}|= \sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Durchschnittliche \ Mittlere Beschleunigung

Der Geschwindigkeitsvektor kann während der Bewegung variieren. Der mittlere Beschleunigungsvektor$\vec{a_m}$ am ist definiert als der Quotient aus der Variation des Geschwindigkeitsvektors $\Delta \vec{v}$ und dem Zeitintervall $\Delta t$

$\vec{a_m}= \frac{ \vec{v_2}- \vec{v_1} }{t_2 -t_1}=\frac{ \Delta \vec{v} }{ \Delta t }$

Beachte, dass der mittlere Beschleunigungsvektor $\vec{a_m}$ die gleiche Richtung wie der $\Delta \vec{v}$ hat.

Momentanbeschleunigung

$\vec{a} = lim_{\Delta t \to 0}[ \frac {\Delta \vec{v} }{\Delta{t} }] = \frac{d \vec{v} }{dt}=\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$

In kartesischen Koordinaten ist jede Komponente des Vektors $\vec{a}(t)$ die Ableitung der entsprechenden Geschwindigkeitskomponente $\vec{v}(t)$:

$\vec{a}= \frac{dv_x}{dt} \widehat{x}+ \frac{dv_y}{dt} \widehat{y}+ \frac{dv_z}{dt} \widehat{z}=a_x \widehat{x}+a_y\widehat{y} +a_z\widehat{z}$

Der Geschwindigkeitsvektor kann in Größe, Richtung oder beidem variieren. In jedem dieser Fälle gibt es eine Beschleunigung. Wenn nur der Größe von $\vec{v}$ variiert, ist die Bewegung geradlinig. Ein Objekt kann den Betrag seiner Geschwindigkeit konstant halten und dennoch beschleunigt werden. Dies geschieht in der gleichförmigen Kreisbewegung, die wir im nächsten Kapitel untersuchen werden.

Bewegungsgleichung:

Die Funktion $\vec{r}(t)$ enthält alle Informationen über die Bewegung. Wenn wir $\vec{r}(t)$ kennen, können wir durch sukzessive Differentiation direkt die Geschwindigkeit $\vec{v}$ und die Beschleunigung $\vec{a}$ finden.

$\vec{v}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$       ;   $\vec{a}=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

Umgekehrt, wenn wir die Beschleunigung als Funktion der Zeit $\vec{a}(t)$ und die Anfangsbedingungen kennen, können wir durch sukzessive Integration die Geschwindigkeit $\vec{v}$ und das ls der Bewegung $\vec{r}(t)$ finden.

$\vec{v}= \int_{}^{}{\vec{a}(t)dt}$   ;   $\vec{r}= \int_{}^{}{\vec{v}(t)dt}$

Konstante Beschleunigung .

Ein Fall von besonderer Bedeutung ist der einer konstanten Beschleunigung (sowohl in der Größe als auch in der Richtung). Integrieren wir den Ausdruck $d \vec{v}=\vec{a}dt$), die Geschwindigkeit $\vec{v}$  ergibt sich nach einer Zeit $t$:

$\int_{v_0}^{v}{d\vec{v}}= \int_{0}^{t}{\vec{a}dt} \Rightarrow \vec{v}.\vec{v_0}=\vec{a}t$

Wobei $\vec{v_0}$ die Geschwindigkeit zum Anfangszeitpunkt $t=0$ ist.

Ähnlich, wenn wir die Beziehung $d\vec{r}=\vec{v}dt$ integrieren und den obigen Ausdruck für $\vec{v}$ und Terme von $\vec{a}$ verwenden:

$\int_{r_0}^{r}{d\vec{r}}= \int_{0}^{t}{\vec{v}dt}= \int_{0}^{t}{(\vec{v_0}+\vec{a}t)dt}$

Wenn $r_0$ der Positionsvektor zum Anfangszeitpunkt ist, gilt zu jedem Zeitpunkt:

$\vec{r}(t)=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2$

Nach diesem Ausdruck die Verschiebung $(\vec{r}-\vec{r_0)}$. Es ist eine Kombination aus zwei Vektoren: einer parallel zu $\vec{v_0}$ und der andere parallel zu $\vec{a}$. Daher ist die Bewegung in 3D mit konstanter Beschleunigung auf die Ebene beschränkt, die durch die Vektoren $\vec{v_0}$ und $\vec{a}$ gebildet wird.

Wenn $\vec{a}$ konstant ist, erfolgt die Bewegung in einer Ebene.

Da wir das Koordinatensystem frei wählen können, so dass die Vektorgleichung auf zwei Skalare reduziert wird, genügt es, die xy-Ebene mit der Ebene zusammenfallen zu lassen, in der die Trajektorie liegt (Ebene gebildet durch $\vec{v_0}$ und $\vec{a}$. Wir erhalten also die skalaren Gleichungen für die Bewegung in $x$- und $y$-Richtung.

Die Bewegungen in $x-$ und $y-$Richtung sind simultan, aber unabhängig. Das bedeutet beispielsweise, dass die Positionsänderung $x$ allein durch die Beschleunigung $a_x$ und die Anfangsgeschwindigkeit $\vec{v_0._x}$ bestimmt wird. Daher sind die Gleichungen für jede Komponente identisch mit denen einer eindimensionalen Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Dies ist ein wichtiger Punkt, der die Fehlersuche erleichtert.

Ein Projektil ist ein Objekt, das in die Luft geworfen wird und sich frei bewegen kann. ↖️⚾️💨

Angenommen, ein Projektil wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $\vec{v_0}$ in einem Winkel $\theta$ zur Horizontalen auf ebenem Boden abgefeuert.

1. Eine gleichförmige Bewegung in $x,y-Richtung$
2. Bewegung in Vektor-Richtung, die aufgrund der Schwerkraft einer nach unten gerichteten Beschleunigung ausgesetzt ist $a=-g. \widehat{y}$ 

Wir haben unsere Koordinaten so gewählt, dass der Ursprung 0 der Koordinaten im Abschusspunkt liegt und die $y+$  Achse senkrecht nach oben zeigt. Nun schreiben wir die Koordinaten $(x,y)$ zum Zeitpunkt  $t$.

$x(t)=v_0.cos( \theta ).t$        --- (1)

$y(t)=(v_0.sin( \theta)).t -\frac{1}{2}.g.t^2$    --- (2)

• Trajektorie: Der Ausdruck der Trajektorie y(x) wird erhalten, indem die Zeit von Gleichung (1) gelöscht und in (2) eingesetzt wird.

$y(x)= tan ( \theta ).x-\frac{g.x^2}{2.(v_0cos( \theta ))^2}$

Die Kurve, die die Bahngleichung eines Projektils darstellt, stellt sich als Parabel heraus.

• Flugzeit: Gesamtflugzeit wird ermittelt, indem $y(t)=0$ gesetzt wird.

$0= (v_0 .sin( \theta ))t-\frac{1}{2}g.t^2 \Rightarrow t=\frac{2v_0.sin( \theta) }{g}$

• Horizontale Reichweite: Die während der Flugzeit t zurückgelegte horizontale Gesamtstrecke beträgt:

$R=v_0 ._x * t =v_0. cos( \theta) \frac{2v_0 .sin( \theta )}{g} =\frac{2v_0^2sen(2 \theta) }{g}$

• Maximale Höhe: Der maximale Punkt der Trajektorie y=H ist der Punkt, an dem die vertikale Komponente der Geschwindigkeit aufgehoben wird:

$v_y^2 =v^2_y._0-2gH \Rightarrow H= \frac{v^2_y._0}{2g} =\frac{(v_0sin( \theta)) ^2}{2g}$

Praktische Anwendung: 

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