Physik 03 - Kinematik II

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  Kinematik II

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  Willkommen zum zweiten Kinematik-Modul 👋
  Da wir davon ausgehen, dass du das erste Modul (Kinematik I) bereits hinter dir hast, halten wir uns gar nicht erst mit einer langen Einleitung auf ...
  Sollte dies nicht der Fall sein so empfehlen wir dir erst einen Blick in Kinematik I zu werfen und dann noch mal hierher zurückzukommen. 😉
  In Kinematik I gibt es eine allgemeine Einführung während wir hier direkt zur Sache kommen und sich alles um Kreisbewegungen dreht. 🌌
  

  Am Ende dieses Modul solltest du:

  • Das Konzept von Kreisbewegungen, sowie die Unterschiede zwischen gleichmäßigen und ungleichmäßigen Kreisbewegungen kennen und verstehen.
  • Kreisbewegungen durch Gleichungen beschreiben.
    
  • Das Polarkoordinatensystem kennen und anwenden.
    

  Bevor du startest haben wir noch einige Infos für dich zusammengestellt:
  Das Modul ist so aufgebaut, dass du zunächst den Eingangstest ausprobieren solltest. Auf Basis dessen bekommst du von uns eine Empfehlung, mit welchem Level der Übungen du in den jeweiligen Themen fortfahren solltest. Die Entscheidung darüber bleibt aber dir überlassen, du kannst auch jederzeite andere Übungen mitmachen! Zum Schluss solltest du allerdings den Abschlusstest nicht vergessen! Dieser ermöglicht es dir dein Wissen anzuwenden und gibt dir eine Rückmeldung zu deinem Fortschritt. 🧐
  
  Die Bearbeitunsgdauer für das gesamte Modul kann bis zu 60 Minuten dauern. ⌛️ Vielleicht bist du aber auch schneller fertig. 🤭 Unsere Zeitangabe ist nur eine ungefähre Einschätzung die darauf basiert, dass du dir alle Inhalte ansiehst und jede einzelne Rechnung in allen Leveln durchführst. Du kannst aber natürlich frei entscheiden wann du dir welche Inhalte anguckst und das Modul jederzeit verlassen, wieder zurückkommen und dort weitermachen wo du aufgehört hast. ⏯

  Um alle Funktionen des Moduls nutzen zu können, musst du dich oben rechts über das kleine Zahnrad einschreiben. ⚙️✏️
  

  • Aktivität Eingangstest: Kinematik (II) auswählen

    

    Eingangstest: Kinematik (II)
  • Aktivität Kreisbewegungen 🎡 auswählen

    Kreisbewegungen 🎡

    Kreisbewegungen spielen in unserem Alltag in verschiedenen Bereichen eine wichtige Rolle. Wir kennen sie beispielweise als Karussell, Waschmaschine, Kreisverkehr oder aber als Windrad.  Die Kreisbewegung ist ein Sonderfall der Bewegung in einer Ebene und tritt auf, wenn der Pfad, dem das Teilchen folgt, ein Kreis ist. Die Kreisbewegung hat eine große praktische Bedeutung, da sie in der Natur und in unserer täglichen Erfahrung sehr verbreitet ist. Neben den oben genannten Beispielen sind es auch die Bewegungen der Räder von Autos und Fahrrädern um ihre Achsen und die Annäherung an die Bewegung eines künstlichen Satelliten um unsere Erde. 🌏
    
    Um das Thema besser zu verstehen, ist es notwendig, einige grundlegende Konzepte zu dieser Bewegung zu beschreiben. Zum Schluss wird dein Verständnis mit einer Übung überprüft, in der du diese Grundkonzepte noch mehr festigst. Also worauf wartest du ⁉️ Ran an den Speck! 🥓
    

    Kreisförmige Position

    Ein Objekt in Kreisbewegung um einen Ursprungspunkt $0$ kann in einem Bezugssystem durch den radialen Abstand $r$und den Winkel $\theta$ gemessen von der x-Achse lokalisiert werden. Der Abstand $r$ ist konstant und der Winkel $\theta$ wird als Winkelposition bezeichnet. Bei der Beschreibung einer Kreisbewegung ist es zweckmäßig, die Winkel in Radianten auszudrücken, die durch das Verhältnis zweier Längen definiert sind: dem Bogen $b$ und dem Radius$r$. Ein Radiant ist der Winkel, der von einem Bogen der Länge$b$ eingeschlossen wird, der im Wert gleich dem Radius$r$ des Umfangs ist.

    Winkelverschiebung:
    $\theta=$ $\frac{Bogen}{Radius} \$ $=$ $\frac{b}{r} \$ $= Radiant$

    

    Für weitere Details zur mathematischen Beschreibung von kreisförmigen Positionen und insbesondere dem Einheitskreis, empfehlen wir dir einen Abstecher in das Trigonometrie-Modul zu machen. 💡
    

    Winkelgeschwindigkeit

    Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ist definiert als der pro Zeiteinheit überstrichene Winkel:

    $w_m=$ $\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \$.$\frac{rad}{s} \$ 

    Die momentane Winkelgeschwindigkeit erhält man, indem man ein extrem kleines Zeitintervall nimmt:

    $w_m=$ $lim_{\Delta t \to 0}$ $\frac{\Delta w}{\Delta t} \$  $=$$\frac{dw}{dt} \$ $=$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} \$. $\frac{rad}{s^2} \$ 

    Eigentlich ist $w=d \theta/dt$ die Winkelgeschwindigkeit oder der Größe von $w$, da die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist, dessen Richtung senkrecht zur Bewegungsebene gewählt wird.

    Durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit:
    $w= \frac{ \Delta \theta }{ \Delta t}$ $[rad/s]$
    Momentane Winkelgeschwindigkeit:
    $w= \frac{d \theta }{dt}$
    Beziehungen:
    $f =  \omega / 2\pi$ $[Hz]$
    $T=1/f = 2 \pi / \omega$ $[s]$
    

     Winkelbeschleunigung

    Die Winkelbeschleunigung drückt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit $w$ aus.
    

    $\alpha =$ $lim_{\Delta t \to 0}$ $\frac{\Delta w}{\Delta t} \$  $=$$\frac{dw}{dt} \$ $=$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} \$ .$\frac{rad}{s^2} \$ 

    Winkelbeschleunigung:
    $\alpha = \frac{dw}{dt}= \frac{d^2 \theta }{dt^2}  rad/s^2$  

    Konstante Winkelbeschleunigung

    Es wird beobachtet, dass die Definitionen der Winkelvariablen denen der linearen Bewegung analog sind. Daher ähneln die zugehörigen kinematischen Gleichungen $\theta ,w$ und $\alpha$ für konstante Winkelbeschleunigung ihren Gegenstücken für die linearen Variablen $s, v$ und $a$.

    Konstante Winkelbeschleunigung:
    $\theta= \theta_0.t+ \omega_0.t+1/2. \alpha. t^2$
    $\omega= \omega_0+ \alpha.t$
    $w=w_0^2 +2 \alpha \Delta \theta$

    Lineare Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

    Ein Teilchen, das sich auf einem Umfang bewegt, hat eine momentane lineare Geschwindigkeit $v$, die tangential zu seiner Bahn ist. Wir können eine durchschnittliche lineare Geschwindigkeit als das Verhältnis der Länge des zurückgelegten Bogens delta s zu der Zeit, die benötigt wird, um ihn zurückzulegen, $\Delta t$ definieren.
    

    $v_m=\Delta s/ \Delta t$
    

    In der $\Delta t \rightarrow0$, erhält man die momentane Geschwindigkeit oder den Betrag des Geschwindigkeitsvektors:

    $v =$ $lim_{\Delta t \to 0}$ $\frac{\Delta s}{\Delta t} \$  $=$$\frac{ds}{dt} \$  $\frac{m}{s^2} \$ 

    Da die differentielle Länge des Bogens  $ds=r.do$ ist, können wir $v (m/s)$ durch $w (rad/s)$ ausdrücken

    $v=r. d \theta/dt=r.w$

    Lineargeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit:
    $v=r.w$

    

    Gleichförmige Kreisbewegung

    Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Vektors (der Geschwindigkeit) konstant, aber die tangentiale Richtung von $\vec{v}$ ändert sich kontinuierlich. Aufgrund dieser Richtungsänderung ist eine gleichförmige Kreisbewegung immer eine beschleunigte Bewegung. Der Beschleunigungsvektor $\vec{a}$ steht senkrecht auf diesem Umfang und zeigt immer zur Mitte hin. Deshalb wird in diesem Zusammenhang auch von Radial- oder Zentripetalbeschleunigung gesprochen.

    Zentripetalbeschleunigung:
    $a_z =v^2/r = w^2.r$

    

    Ungleichmäßige Kreisbewegung

    Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung variiert das Geschwindigkeitsgröße an jedem Punkt und es gibt eine tangentiale Beschleunigungskomponente, sodass der Beschleunigungsvektor zwei Komponenten hat:

    Die Radialbeschleunigung ist der Richtungsänderung von $\vec{v}$ zugeordnet

    $a_r= v^2/r= \omega^2.r$
    

    Die Tangentialbeschleunigung ist mit der Variation des Größe von $\vec{v}$ verbunden:

    $a_t= d | \vec{v}|/dt=d( \omega r)/dt=r. \alpha$

    Dabei ist $r$ der Radius des Umfangs $\omega$ und die Winkelgeschwindigkeit $(rad/s)$ und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung $(rad/s^2)$.

    Zentripetalbeschleunigung:
    $a_z= w^2.r$
    Tangentialbeschleunigung:
    $a_t= \alpha.r$

    

  • Aktivität Kreisbewegungen -Übung auswählen

    

    Kreisbewegungen -Übung H5P
  • Aktivität Polar-Koordinaten auswählen

    Polar-Koordinaten

    Bei der Vektoranalyse von Kreisbewegungen ist es einfacher, ein Polarkoordinatensystem zu verwenden, da dieses ein zweidimensionales Koordinatensystem ist.
    In diesem System ist die Position eines Punktes P, der die kartesischen Echokoordinaten $(x,y)$ hat, durch seinen Abstand zum Ursprung,$r$, und durch den Winkel $\theta$ (gemessen in Bezug auf die x-Achse in der Richtung gegen den Uhrzeigersinn) festgelegt.

    Wir können die Positionsvektoren $\vec{r}$, die Geschwindigkeit $\vec{v}$  und die Beschleunigung $\vec{a}$  in Bezug auf die Einheitspolarvektoren schreiben.

    

    Polar Koordinaten:
    $x= r.cos( \theta )$
    $y= r.sin( \theta )$
    $r= \sqrt[2]{x^2+y^2}$
    $\theta= arctan( \frac {y}{x})$
    Abstand zwischen zwei Punkten:
    $d= \sqrt[]{r_1^2 +r_2^2 -2r_1.r_2cos( \theta _1+\theta_2 )}$

    Polare Einheitsvektoren $( \vec{r}, \vec{ \theta } )$
    

    Der radiale Einheitsvektor $\vec{r}$ hat die Richtung des Positionsvektors und der polare Einheitsvektor $\vec{ \theta }$ steht senkrecht auf dem vorherigen. Diese Vektoren können als kartesische Einheitsvektoren $( \vec{x} , \vec{y})$ geschrieben werden. Der radiale Einheitsvektor ist:

    $\widehat{r}=cos( \theta)\widehat{x} +sen( \theta)\widehat{y}$

    Der tangentiale Einheitsvektor $\widehat{ \theta}$ wird unter Berücksichtigung von  $\widehat{ \theta} \bullet\widehat{r}=0$ und dessen Größe Eins erhalten:
    

    $\widehat{\theta}=-sin( \theta)\widehat{x} +cos( \theta)\widehat{y}$

    die zeitlichen Ableitungen der polaren Einheitsvektoren $(\widehat{r},\widehat{ \theta})$ (r, Theta) sind nicht Null:
    

    $\frac{d\widehat{r}}{dt}=+w\widehat{ \theta}$
    

    $\frac{d\widehat{\theta}}{dt}=-w\widehat{r}$

    

    Polarische Einheitsvektoren: 
    $\widehat{r}=cos( \theta)\widehat{x} +sen( \theta)\widehat{y}$
    $\widehat{\theta}=-sin( \theta)\widehat{x} +cos( \theta)\widehat{y}$

    Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren

    Bei einer Kreisbewegung ist der Geschwindigkeitsvektor v immer tangential zum Umfang und hat die Richtung der Tangentialeinheit des Vektors theta:

    $\vec{v}= v. \widehat{ \theta}$
    

    Der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung von $\vec{v}$, also:

    $\vec{a} =$$\frac{\vec{dv}}{dt} \$  $=$$\frac{d}{dt} \$ $(v \widehat{ \theta})$$= v$$\frac{d \widehat{\theta}} {dt} \$ $+\widehat{ \theta}$ $\frac{dv}{dt} \$ $= (-v.w) \widehat{r} + \frac{dv}{dt} \widehat{ \theta}$

    Unter Berücksichtigung von $\omega = v/r$  sehen wir, dass die Beschleunigung zwei Komponenten hat:
    

    $\vec{a} =$$\frac{-v^2}{r} \$ $\widehat{r} +$ $\frac{d|\vec{v}|}{dt} \$ $. \widehat{ \theta}$
    

    Der erste Term ist die radiale Komponente $\vec{a_r}$ und das negative Vorzeichen bedeutet, dass sie zum Mittelpunkt des Kreises und entgegengesetzt zum Einheitsvektor $\vec{r}$gerichtet ist. Der zweite Term ist die Tangentialkomponente "$\vec{a_r}$".

    

    Beschleunigungsvektor: 
    $\vec{a} =$$\frac{-v^2}{r} \$ $\widehat{r} +$ $\frac{d|\vec{v}|}{dt} \$ $. \widehat{ \theta}$
    $\vec{a} = (radiale.Komponente) \widehat{ r} + (tangentiale.Komponente) \widehat{ \theta}$
    $\vec{a} = (radiale.Komponente) \widehat{ r} + (tangentiale.Komponente) \widehat{ \theta}$
  • Aktivität Kreisbewegung und Polar Koordinaten Level 1 auswählen

    

    Kreisbewegung und Polar Koordinaten Level 1 Test
  • Aktivität Kreisbewebung und Polar Koordinaten Level 2 auswählen

    

    Kreisbewebung und Polar Koordinaten Level 2 Test
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    Kreisbewegung und Polar Koordinaten Level 3 Test
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    Nachdem du alle vorhergehenden Inhalte gemeistert hast, kannst du deine Kenntnisse mit dem Abschlusstest checken👇
    
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    Abschlusstest: Kinematik (II)