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Die Digitaltechnik bildet die Grundlage für den Umgang mit Nullen und Einsen. Auch wenn es nur zwei Zustände (0 oder 1 gibt binär), lassen sich mit Hilfe des Dualsystems oder
des
ASCII-Codes alle möglichen Buchstaben und Zahlen daraus abbilden.
In der Digitaltechnik geht es nicht um die exakten Werte für den Strom oder die Spannung, sondern lediglich darum, ob ein "Signal da" (✔️) ist oder ein "Signal nicht da" (✖️) ist. Wurde beispielsweise der Taster xy gedrückt ✔️ oder nicht ✖️? Solche
logischen Zustände, die sich durch eine "0" (✖️) oder "1" (✔️) ausdrücken lassen, können miteinander verknüpft werden, um damit bestimmte Aktionen auszulösen. In der Praxis können die Zustände 0 und 1 beispielsweise durch 0 Volt und 5 Volt umgesetzt
werden.
Am Ende dieses Moduls solltest du:
die Unterschiede zwischen den einzelnen Logik-Gattern kennen und verstehen
einfache Aufgabenstellungen der Digitaltechnik mittels UND- und ODER-Gattern lösen können
Wahrheitstabellen aufstellen
KV-Diagramme entwickeln und vereinfachen können
Bevor du startest haben wir noch einige Infos für dich zusammengestellt: Das Modul ist so aufgebaut, dass du zunächst den Eingangstest ausprobieren solltest. Auf Basis dessen bekommst du von uns eine
Empfehlung, mit welchem Level der Übungen du in den jeweiligen Themen fortfahren solltest. Die Entscheidung darüber bleibt aber dir überlassen, du kannst auch jederzeite andere Übungen mitmachen! Zum Schluss solltest
du allerdings den Abschlusstest nicht vergessen! Dieser ermöglicht es dir dein Wissen anzuwenden und gibt dir eine Rückmeldung zu deinem Fortschritt 🧐
Die Bearbeitunsgdauer für das gesamte Modul kann bis zu 90Minuten dauern ⌛️ Vielleicht bist du aber auch schneller fertig 🤭 Unsere Zeitangabe ist nur eine ungefähre Einschätzung die darauf basiert, dass du dir alle Inhalte ansiehst und jede einzelne Rechnung in allen
Leveln durchführst. Du kannst aber natürlich frei entscheiden wann du dir welche Inhalte anguckst und das Modul jederzeit verlassen, wieder zurückkommen und dort weitermachen wo du aufgehört hast ⏯
Bei
der Programmierung von Steuerungsprogrammen, z.B. in einer SPS (eine
Speicherprogrammierbare Steuerung, zu der du im Modul Automatisierungstechnik
mehr erfährst), greift man meist auf sogenannte Logik-Bausteine zurück. Diese dienen dazu mehrere Eingänge miteinander zu verknüpfen. Die am häufigsten verwendeten Gatter sind UND-Gatter (AND), ODER-Gatter (OR) und Negationen (NOT). Negation bedeutet, dass der jeweilige Zustand invertiert wird, eine 1 wird so zu einer 0 und eine 0 zu einer 1. Die Negation wird durch einen Kreis oder Punkt am jeweiligen Ein- bzw. Ausgang gekennzeichnet. Darauf musst du bei der Bearbeitung der Aufgaben immer achten. 😉 In der folgenden Abbildung ist ein UND-Gatter mit den beiden Eingängen A und B und dem Ausgang Y dargestellt. Der Eingang A ist in diesem Fall negiert. Eine 0 am Eingang A wird dadurch zu einer 1. Damit der Ausgang Y 1 wird, muss also der Eingang A mit einer 0 und der Eingang B mit einer 1 beschaltet werden.
In der Praxis könnte so ein UND-Gatter (ohne negierten Eingang) beispielsweise in einer industriellen Fertigungsanlage vorkommen, in der
zwei Bauteile miteinander verpresst werden. Die Anlage prüft nun mittels Sensoren ob beide Bauteile
an der richtigen Position liegen und leitet erst dann den Pressvorgang ein ▶️.
Stelle dir ein System mit drei digitalen Eingängen und einem
Ausgang vor. Dieses System mit drei Eingängen könnte beispielsweise eine Außenjalousiesteuerung sein ⏬ ⏫:
Am Eingang A ist der Taster für die Funktion "Jalousie runter fahren" angeschlossen.
Am
Eingang B ein Sensor der die Stellung des Fensters überprüft, damit die
Jalousie aus Sicherheitsgründen nur runterfährt wenn das Fenster
geschlossen oder auf Kipp ist.
Am
Eingang C könnte dann ein Windsensor angeschlossen sein, der
verhindert, dass die Jalousie bei Sturm oder starkem Wind herunterfährt
💨.
Wenn
du dir nun deine Problemstellung vorstellst und genau weißt, was
passieren muss, damit der Ausgang schaltet, stehst du vor dem Problem,
dass du die eigene Vorstellung der Funktionsweise irgendwie
verschriftlichen und in ein
Logiknetzwerk bringen musst. Dazu benutzt man Wahrheitstabellen und
KV-Diagramme 💡.
Wahrheitstabellen
beschreiben das Verhalten einer Schaltung oder eines einzelnen Gatters.
Dabei werden alle möglichen Eingangszustände nacheinander aufgelistet
und der entsprechende Wert des Ausgangs aufgeschrieben. Die 0 steht
dabei für "false" (falsch ✖️) und die 1 für "true" (wahr ✔️). In der
Praxis können diese Schaltzustände z.B. durch 0V 🔈 für false und 5V 🔊
für true realisiert werden.
Die folgende
Abbildung zeigt die Gatter und Wahrheitstabellen für je eine AND und OR
Schaltungen, sowie für jeweils eine negierte AND (NAND) und negierte OR (NOR)
Schaltungen
Zurück zum Beispiel mit der Außenjalousiesteuerung: Willst
du hierfür nun eine Wahrheitstabelle erstellen, muss zuerst klar sein,
wann ein Schalter, Taster oder Sensor eine 0 und wann eine 1 liefert.
Für unser Beispiel gehen wir davon, dass der Taster an Eingang eine 1
liefert wenn ihn betätigen um die Jalousie runterzufahren. Der Sensor an
Eingang B liefert eine 1 wenn das Fenster geschlossen bzw. auf Kipp ist
und der Windsensor an Eingang C liefert erst bei starkem Wind eine 1.
Damit die Jalousie runterfahren kann, muss dieser Windsensor also eine 0
liefern.
Die Wahrheitstabelle würde damit wie folgt aussehen:
Wahrheitstabelle von P. Krienke.
Bei den drei Eingängen auf der linken Seite werden zunächst alle möglichen Zustände (23 =
8) eingetragen. Für den Ausgang Y, wird dann überall dort eine 1
eingetragen, wo der Ausgang schalten soll. In unserem Falle, wo die
Jalousie runterfahren soll. Bei diesem ersten Beispiel gibt es also
nur einen Fall, bei dem der Ausgang 1 wird. Aber keine Sorge, die
weiteren Beispiele werden noch anspruchsvoller. 😉
Die Logikschaltung für unsere Jalousiesteuerung würde damit zum Beispiel wie folgt aussehen:
Neben den Wahrheitstabellen gibt es noch eine weitere Möglichkeit um die Funktion des Systems darzustellen: Das Zeitablaufdiagramm. Es ist im Prinzip eine auf der Seite liegende Wahrheitstabelle bei der dieZustände 0 (Low-Pegel) und 1 (High-Pegel) grafisch dargestellt werden. Bezogen auf unser Beispiel mit derJalousiesteuerungsieht das dann wie folgt aus:
Du kannst dir die nachfolgende Aufgabe nun Schritt für Schritt angucken oder auch direkt zu den jeweiligen Videos weiter unten springen 📽
Stell dir vor, du hast für eine Anwendung eine Wahrheitstabelle entwickelt. Du weißt also, was passieren muss, also wie die vier Eingänge A, B, C und D geschaltet werden müssen, damit der Ausgang Y eingeschaltet wird.
Deine Wahrheitstabelle sieht nun so aus wie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt:
Wahrheitstabelle von P. Krienke.
Um daraus nun eine Logikschaltung aus UND- und ODER-Gattern zu entwickeln gibt es verschiedene Möglichkeiten. Du könntest z.B. für jede Zeile der Tabelle in der Y = 1 ist, alle Eingänge auf ein UND-Gatter legen (ist der jeweilige Eingang 1, kommt er direkt an das UND-Gatter, ist er in der Zeile 0, kommt er negiert an das UND-Gatter). Das würde bei dieser Anwendung mit (nur) vier Eingängen schon eine recht große Schaltung mit 16 UND-Gattern ergeben.
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Daher wird diese Wahrheitstabelle im nächsten Schritt mittels KV-Diagramm vereinfacht.
Aufbau eines KV-Diagramms
Das KV-Diagramm dient dazu, die vorliegende Wahrheitstabelle etwas anders darzustellen um sie anschließend in wenigen Schritten vereinfachen zu können.
Genauso wie die Wahrheitstabelle 2n Zeilen hat, hat auch das KV-Diagramm 2n Felder (n = Anzahl der Eingänge, hier 24 = 16). Jedes dieser Felder steht für eine Zeile der Wahrheitstabelle. Dabei stehen die Buchstaben ohne Strich für eine 1 und die Buchstaben mit einem Strich oberhalb für eine 0.
KV-Diagramm von P. Krienke.In die
einzelnen Felder des KV-Diagramms, werden nun die Nullen und Einsen aus der
Spalte des Ausgangs Y aus der Wahrheitstabelle eingetragen.
💡 Tipp: Da wir in der Wahrheitstabelle am Ausgang Y nur fünf Nullen,
dafür aber elf Einsen haben, kannst du dir etwas Arbeit sparen und
einfach nur die Nullen eintragen und die restlichen Felder danach mit
den Einsen auffüllen.
Schauen
wir uns nun also an, wo uns in Spalte Y die Nullen begegnen 🔍
Von oben nach unten ist dies an dritter, an fünfter, an siebter, an 13. und an
15. Stelle der Fall, weswegen wir uns nun die dazugehörigen Zeilen angucken,
die in der nachfolgenden Abbildung farblich markiert sind.
Wahrheitstabelle mit markierten Nullen von P. Krienke.Beginnen wir nun mit ersten farblich markierten Zeile, der dritten Zeile
der gesamten Tabelle. Wir „übersetzen“ dafür die Werte aus der Wahrheitstabelle
in die korrekten Buchstaben des KV-Diagramms - hier erinnern wir uns daran,
dass Buchstaben ohne Strich für eine 1 stehen und Buchstaben mit einer Strich
darüber für eine 0 stehen – d.h.
1) D = 0 in der Wahrheitstabelle bedeutet, dass wir uns den Eintrag für im KV-Diagramm ansehen
2) C = 0 in der Wahrheitstabelle bedeutet, dass wir uns den Eintrag für im KV-Diagramm ansehen
3) B = 1 in der Wahrheitstabelle bedeutet, dass wir uns den Eintrag für B im
KV-Diagramm ansehen 4)
A = 0 in der Wahrheitstabelle bedeutet, dass wir uns den Eintrag für im KV-Diagramm ansehen Es
bleibt somit nur ein Feld in unserem KV-Diagramm übrig, auf dass alle
Bedingungen zutreffen: Es ist das Feld in der zweiten Zeile und in der dritten Spalte, in das wir nun eine 0 eintragen können ❗️
Weiter geht es mit der zweiten farblich markierten Zeile und der fünften
Zeile der Wahrheitstabelle für die folgendes gilt: 1) D = 0 in der Wahrheitstabelle 2) C = 1 in der Wahrheitstabelle 3)
B = 0 in der Wahrheitstabelle 4) A = 0 in der Wahrheitstabelle
Was bedeutet dies nun für die Einträge im KV-Diagramm? Es bedeutet dass wir uns
folgende Einträge anschauen: 1) 2) C 3) 4)
Und
auf welches Feld im KV-Diagramm treffen all diese Bedingungen nun zu? Es ist
das Feld in der dritten Zeile und in der vierten Spalte ❗️
Nun
fährst du nach demselben Prinzip für die weiteren farblich markierten Zeilen
fort ⏳
Am Ende erhältst du folgende Tabelle:
KV-Diagramm mit Nullen von P. Krienke.Nun
können wir – wie im 💡 Tipp vorgegeben – die leeren Felder mit Einsen auffüllen
und erhalten folgende Darstellung:
KV Diagramm mit aufgefüllten Einsen von P. Krienke.Mit dem
Aufbau des KV-Diagramms sind wir nun fertig, wir können es jedoch noch
vereinfachen!
Wie das geht erfährst du weiter unten. Da uns beim Vereinfachen nur die Einsen
interessieren, ändern wir noch einmal die Darstellung und lassen die Nullen im
Diagramm einfach weg.
KV Diagramm nur mit Einsen von P. Krienke.
Im folgenden Video kannst du dir den Aufbau des KV-Diagramms noch einmal ausführlich angucken 🎬
Vereinfachen mit dem KV-Diagramm
Nun lassen sich benachbarte Einsen ganz einfach zusammenfassen. Es muss jetzt also nicht mehr jede einzelne 1 mit den dazugehörigen Eingängen A bis D angegeben werden.
Die Position im KV-Diagramm von zwei benachbarten Einsen lässt sich mit der Angabe von nur drei Eingängen genau beschreiben. Beim Zusammenfassen von vier Einsen werden nur noch zwei Eingänge als Information benötigt und bei einem "Achterpäckchen" wird sogar nur noch ein einziger Eingang benötigt.
⚠️Wichtig: Es können immer nur Zweier, Vierer oder Achter Grüppchen
gebildet werden. Die einzelnen Grüppchen dürfen sich dabei auch
überschneiden!
1. Schritt:
Für die erste Achtergruppe sieht das Ganze dann so aus wie in der nachfolgenden Abbildung:
Zusammenfassen einer Achtergruppe von P. Krienke.Damit lassen sich die acht Einsen einem einzigen Eingang zuordnen: Wenn A = 1 dann ist der Ausgang auch immer 1, unabhängig von den anderen Eingängen. Das kannst du auch ganz einfach nachprüfen indem du einen Blick auf die Wahrheitstabelle wirfst; immer dann, wenn A=1 ist, ist auch Y=1.
2. Schritt:
Nun können wir eine Vierergruppe zusammenfassen: Diese vier Einsen haben alle gemeinsam, dass Sie im Bereich und gleichzeitig im Bereich liegen. Ob A oder bzw. D oder , spielt hierbei keine Rolle, da sich die Position dieses "Viererblocks" eindeutig über die beiden Ausdrücke und beschreiben lässt.
Zusammenfassen der ersten Vierergruppe von P. Krienke.
3. Schritt:
Und zum Schluss packen wir noch die einzelne 1 aus der obersten Zeile in eine weitere Vierergruppe.
Der Trick hierbei liegt darin, dass sowohl die oberste als auch die unterste Zeile gemeinsam haben, dass dort der Eingang D=1 ist.
Diese Einsen sind ebenfalls benachbart, auch wenn man es auf den ersten Blick vielleicht nicht sofort vermutet. Um diese vier Einsen zusammenzufassen, brauchen wir also D & .
Zusammenfassen der zweiten Vierergruppe von P. Krienke.
Anstatt "UND" und "ODER" verwendet man in der Digitaltechnik auch oft die Schaltzeichen für das ODER bzw. ein für das UND.
Mithilfe
dieser Notation können wir nun, nach dem Vereinfachen, eine Gleichung
aufstellen:
Y =
Eine weitere Vereinfachung ist das Weglassen der "UNDs". Unsere Gleichung sieht dann so aus: Y =
Somit ergibt sich eine deutlich vereinfachte Schaltgleichung aus der jetzt eine Logikschaltung "gebaut" werden kann.
Neben den bekannten Gattern (UND-, ODER-, etc.), gibt es auch Gatter, die ihren Zustand speichern können. Das ist z.B. interessant wenn zur Steuerung ein Taster anstelle eines Schalters zum Einsatz kommen soll.
Was ist überhaupt der Unterschied zwischen einem Schalter und einem Taster? Um es kurz zu machen: Ein Schalter wie z.B. ein Lichtschalter hat zwei Positionen. Schaltest du das Licht ein, bleibt es so lange eingeschaltet bis du den Schalter wieder umlegst. Ein Taster hingegen springt nach der Betätigung wieder in seinen "Normalzustand" zurück, dieses Verhalten kennst du beispiesweise von einer Türklingel.
Durch die Verwendung eines Speicherbausteins kann dieser durch einen Tastendruck (oder Bewegungsmelder) eingeschaltet werden und bleibt so lang eingeschaltet bis er wieder ausgeschaltet wird. Das Ausschalten kann dann durch den selben Taster oder einen weiteren Taster (oder eine Zeitschaltung) erfolgen.
Grundsätzlich unterscheidet man zwischen Taktgesteuerten und nicht-Taktgesteuerten Flip-Flops (FFs). Wir kümmern und hier erstmal nur um einen sehr verbreiteten, nicht-Taktgesteuerten Typen: das RS-Flip-Flop bzw. SR-Flip-Flop. Dieses sieht folgendermaßen aus, die dazugehörige Wahrheitstabelle verdeutlicht dir nochmals die Funktion:
Was hat es mit dem verbotenen Fall auf sich? Der Unterschied zwischen einem RS-FF und einem SR-FF besteht darin, welcher der beiden Eingänge dominant ist. Bei einem SR-FF, so wie in der Abbildung (S steht oben), ist der Setz-Eingang dominant. Wenn sowohl Setz- als ach Rücksetz-Eingang mit einer 1 beschaltet werden, wird der Ausgang auf 1 gesetzt. Bei einem RS-FF wird in dem Fall der Ausgang auf 0 zurück gesetzt. Auf dieses Verhalten kann man sich jedoch nur bei einer Software-Lösung verlassen. In der Praxis, bei diskret aufgebauten Schaltungen, sieht es wieder anders aus. In der Praxis weiß man unter Umständen nicht genau ob nun ein SR-FF oder ein RS-FF verbaut ist oder ob es sich überhaupt um ein FF mit einem dominanten Eingang handelt, daher gilt dieser Fall als verbotener Fall.
In der Praxis lässt sich ein solches Flip Flop zum Beispiel durch die bereits bekannten NOR-Gatter aufbauen:
binär), lassen sich mit Hilfe des Dualsystems oder
des
ASCII-Codes alle möglichen Buchstaben und Zahlen daraus abbilden. 
