Trigonometrische Funktionen

Die folgende Abbildung stellt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten AB,AC und BC, die jeweils a, b und c lang sind, und den Winkeln α (ausgesprochen: Alpha) und ß (ausgesprochen: Beta) dar.

Gegeben ist: 

Frage: Wie groß ist der Winkel ß? 

Die Cosinusformel lautet: $cos() = \dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}$

In unserem Beispiel heißt das: 

$cos(\beta) = \dfrac{15}{17}$

Durch den Einsatz der Umkehrfunktion Arkuscosinus oder kurz arccos können wir den Winkel ß berechnen: 

$\beta = arccos(\dfrac{15}{17}) = 28,07^\circ$

Die Sinusformel lautet: $sin() = \dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

In unserem Beispiel heißt das: 

$sin(\beta) = \dfrac{8}{17}$

Durch den Einsatz der Umkehrfunktion Arkussinus oder kurz arcsin können wir den Winkel ß berechnen: 

$\beta = arcsin(\dfrac{8}{17}) = 28,07^\circ$

Die Tangensformel lautet: $tan() = \dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}$

In unserem Beispiel lautet das: 

$tan(\beta) = \dfrac{8}{15}$

Durch den Einsatz der Umkehrfunktion Arkustangens oder kurz arctan können wir den Winkel ß berechnen: 

$\beta = arctan(\dfrac{8}{15}) = 28,07^\circ$

$\alpha = arcsin(\dfrac{15}{17}) = arccos(\dfrac{8}{17}) = arctan(\dfrac{15}{8}) = 61,93^\circ$

In unserem Beispiel: 

$\alpha + \beta = 61,93^\circ + 28,07^\circ = 90^\circ$ ✅

Gegeben ist:

Frage: Wie lang ist die Seite x? 

Zuerst solltest du die richtige Formel aussuchen. 

In unserem Beispiel entscheiden wir uns für die Tangensformel, wo die Ankathete und Gegenkathete zum Winkel α vorkommen. 

So sieht dann der Lösungsweg aus: 

$tan(67,38°) = \dfrac{x}{5cm}$

$x = tan(67,38^\circ) \cdot 5cm = 11,99 cm$

Jeder Winkel im Einheitskreis lässt sich durch die Länge des Kreisbogens beschreiben. Die entsprechende Einheit ist das Bogenmaß. 🤓

Dabei entspricht der volle Kreis einen Winkel von 360° in Gradmaß oder $2\pi$ in Bogenmaß. 

Daraus lässt sich die Verhältnisgleichung aufstellen:

$\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{x}{2\pi}$

Ist der Winkel $\alpha$ in Gradmaß angegeben und der entsprechende Wert $x$ in Bogenmaß gesucht, so lässt sich die obige Gleichung nach $x$ auflösen und wir erhalten: 

$x = \dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot \alpha$

Ist der Winkel $x$ in Bogenmaß angegeben und der entsprechende Wert $\alpha$ in Gradmaß gesucht, sieht die Gleichung dann so aus: 

$\alpha = \dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x$

Rechenbeispiel 1:

Gegeben ist α = 13°.

Gesucht ist die Winkelgröße $x$ in Bogenmaß. 

Lösung: 

Die Winkelgröße $x$ in Bogenmaß lässt sich berechnen, indem wir den Winkel α im Gradmaß in der entsprechenden Formel einsetzen.

Rechnerisch umgesetzt sieht es dann so aus: 

$x = \dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot \alpha = \dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot 13^\circ = \dfrac{13^\circ\pi}{180^\circ}$

Rechenbeispiel 2: 

Gegeben ist $x = \dfrac{\pi}{3}$ 

Gesucht ist der entsprechende Winkel α in Gradmaß. 

Lösung: 

Ähnlich wie beim ersten Beispiel, lässt sich die Winkelgröße α im Gradmaß berechnen, indem wir den Winkel $x$ in Bogenmaß in der entsprechenden Formel einsetzen.

Rechnerisch umgesetzt sieht es dann so aus:

$\alpha = \dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x = \dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$

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Im Vermessungswesen werden Winkelgrößen oftmals in Gon angegeben. Dabei entsprechen 400 Gon einen vollen Kreis, also 360° oder $2\pi$. 😲

Je nach gewähltem Winkel erhältst du auch negative Sinus- und Cosinuswerte. Hier ist eine Übersicht mit den vier Quadranten und positiven oder negativen Wertebereichen:

1) Periodizität:

Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind 360° oder $2\pi$ periodisch.

Es gilt für alle $\alpha \in \mathbb{R}\;und\;k\in\mathbb{Z}$ : 

$\cos(\alpha+2k\pi)=cos(\alpha)$

$\sin(\alpha+2k\pi)=sin(\alpha)$

Beispiel:

$cos(73^\circ)=cos(73^\circ+360^\circ)=cos(433^\circ)\approx0,29$

Ähnlich wie bei der Sinus- und Cosinusfunktion, ist die Tangensfunktion $\pi$ periodisch. 

Es gilt für alle $k\in\mathbb{Z}$ :

$tan(\alpha+k\pi)=tan(\alpha)$

2) Supplementbeziehungen 

Winkel, die sich zu 180° summieren, nennt man Supplementwinkel. Es gelten hier die Supplementbeziehungen: 

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$

Beispiel: 

3) Negative Winkelmaße 

Für negative Winkelmaße gilt: 

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Beispiel: 

4) Komplementbeziehungen

Winkel, die sich zu 90° summieren, nennt man Komplementwinkel. Es gelten hier die Komplementbeziehungen:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$

$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$

5) Goniometrische Grundformel
 
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: 

$sin(\alpha)^2 + cos(\alpha)^2 = 1$

Beispiel: 

cos(60°)² + sin(60°)² = 1

In der Geodäsie, insbesondere im Vermessungswesen finden u.a. trigonometrische Funktionen praktische Anwendung. Dabei werden die Koordinaten (Lage und Höhe) von bestimmten Gelände- (Bergspitzen, Flüsse, Straßen, etc.) oder Gebäudepunkten bzw. deren Entfernung zueinander ermittelt.

Höhenbestimmung mit dem Tachymeter

Im Vermessungswesen werden für die trigonometrische Höhenbestimmung unter anderem sogenannte Tachymeter eingesetzt. In der nachfolgenden Slideshow bekommst du einen ersten Eindruck, wie ein Tachymeter aussieht:

Mit einem Tachymeter lässt sich der Zenitwinkel, also der Winkel eines Punktes unter dem Zenit bestimmen. Das Gerät kann außerdem die Horizontalrichtung über den  Horizontalwinkel und die Schrägdistanz zu einem bestimmten Geländepunkt messen. Hierfür wird ein Reflektor notwendig, da die Schrägdistanz über die doppelte Laufzeit eines Laserimpulses (Hin- und Rückweg) gemessen wird.

Turmhöhenbestimmung mit dem Tachymeter in der Praxis

Die vorrangige Aufgabe bei der Turmhöhenbestimmung besteht in der Ermittlung der Distanz zwischen Instrument und Zielpunkt. Ist der Zielpunkt nicht zugänglich, kann über bestimmte Messkonstellationen von Winkeln und Strecken der Höhenunterschied zum Zielpunkt trigonometrisch berechnet werden. Die bekanntesten Messkonstellationen bezeichnet man als Messung mit einem horizontalen (bzw. vertikalen) Hilfsdreieck 📐

Solltest du das Museum einmal besuchen, so wirst du feststellen dass du mit einem Fahrstuhl sogar auf das Fördergerüst hinaufgelangen und die Aussichtsplattform besuchen kannst. Wenn wir zurück zu unserer Vermessungsaufgabe kommen, müssen wir jedoch feststellen, dass unser Zielpunkt noch ein Stück über der Plattform liegt, der höchste Punkt ist die Antenne – das kannst du gut erkennen, wenn du unserem Vermessungsingenieur auf dem nächsten Bild über die Schulter blickst. 👀

Für die Turmhöhenbestimmung bedeutet dies, dass der Zielpunkt nicht zugänglich ist und wir daher mit einem Hilfsdreieck 📐 arbeiten um dem Höhenunterschied trigonometrisch zu berechnen. Und ebendieses Hilfsdreieck ist auf dem nächsten Bild abgebildet. Die Messung mit dem Tachymeter wird übrigens aus zwei verschiedenen Perspektiven durchgeführt, weswegen wir auf dem nachfolgenden Bild ein Tachymeter bei Standort A und ein Tachymeter bei Standort B sehen.

Fassen wir einmal zusammen, was wir auf dem Bild erkennen können:

• Um das Bild herum wurde ein Koordinatensystem gelegt, in welchem die y-Achse die Breite und die z-Achse die Höhe darstellt
• Als Nullpunkt für unsere z-Achse gilt Normalhöhennull (NHN)
• Mithilfe der beiden Standorte des Messgerätes bzw. des Tachymeters (Punkt A und Punkt B) sowie der Spitze des Fördergerüsts (Punkt C) haben wir ein Hilfsdreieck gebildet (ABC)
• Für Standort A und Standort B haben wir jeweils die Zenitwinkel eingezeichnet (Z_A und Z_B)
• Für Standort A und Standort B haben wir jeweils die Instrumentenhöhen eingezeichnet (i_A und i _B)
• Für Standort A und Standort B haben wir jeweils die Punkthöhen h_A und h_b eingezeichnet, die angeben wie weit sich das Messgerät am jeweiligen Standort über NHN befindet
• Wir haben die gesuchte Höhe h_c eingezeichnet
  

Was müssen wir nun noch beachten um die Turmhöhe zu bestimmen? Wir müssen die Höhe des Instrumentenhorizonts berücksichtigen und die Position des Gerätes im geodätischen Koordinatensystem bestimmen:

• Um die Höhe des Instrumentenhorizontes, also der Höhe der Kippachse des Fernrohrs über Normalhöhennull (NHN) in A und B zu bestimmen, werden die Punkthöhen h_A und h_B  mittels Nivellement ermittelt und die Instrumentenhöhe i_A bzw. i_B dazu addiert.
• Um die gesuchte Höhe ermitteln zu können, muss die Position des Gerätes im geodätischen Koordinatensystem bestimmt werden. Hierfür werden die Richtungswinkel benötigt. Das sind Horizontalwinkel, die auf eine gemeinsame Nullrichtung bezogen werden. Wie wir weiter oben bereits erfahren haben, werden einfache Horizontalwinkel durch die Differenz zweier Richtungswinkel berechnet.

Aufgabe: