Kinematik II

Kreisförmige Position

Ein Objekt in Kreisbewegung um einen Ursprungspunkt $0$ kann in einem Bezugssystem durch den radialen Abstand $r$und den Winkel $\theta$ gemessen von der x-Achse lokalisiert werden. Der Abstand $r$ ist konstant und der Winkel $\theta$ wird als Winkelposition bezeichnet. Bei der Beschreibung einer Kreisbewegung ist es zweckmäßig, die Winkel in Radianten auszudrücken, die durch das Verhältnis zweier Längen definiert sind: dem Bogen $b$ und dem Radius$r$. Ein Radiant ist der Winkel, der von einem Bogen der Länge$b$ eingeschlossen wird, der im Wert gleich dem Radius$r$ des Umfangs ist.

Winkelgeschwindigkeit

Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ist definiert als der pro Zeiteinheit überstrichene Winkel:

$w_m=$ $\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \$.$\frac{rad}{s} \$ 

Die momentane Winkelgeschwindigkeit erhält man, indem man ein extrem kleines Zeitintervall nimmt:

$w_m=$ $lim_{\Delta t \to 0}$ $\frac{\Delta w}{\Delta t} \$  $=$$\frac{dw}{dt} \$ $=$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} \$. $\frac{rad}{s^2} \$ 

Eigentlich ist $w=d \theta/dt$ die Winkelgeschwindigkeit oder der Größe von $w$, da die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist, dessen Richtung senkrecht zur Bewegungsebene gewählt wird.

 Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung drückt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit $w$ aus.

$\alpha =$ $lim_{\Delta t \to 0}$ $\frac{\Delta w}{\Delta t} \$  $=$$\frac{dw}{dt} \$ $=$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} \$ .$\frac{rad}{s^2} \$ 

Konstante Winkelbeschleunigung

Es wird beobachtet, dass die Definitionen der Winkelvariablen denen der linearen Bewegung analog sind. Daher ähneln die zugehörigen kinematischen Gleichungen $\theta ,w$ und $\alpha$ für konstante Winkelbeschleunigung ihren Gegenstücken für die linearen Variablen $s, v$ und $a$.

Lineare Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Ein Teilchen, das sich auf einem Umfang bewegt, hat eine momentane lineare Geschwindigkeit $v$, die tangential zu seiner Bahn ist. Wir können eine durchschnittliche lineare Geschwindigkeit als das Verhältnis der Länge des zurückgelegten Bogens delta s zu der Zeit, die benötigt wird, um ihn zurückzulegen, $\Delta t$ definieren.

$v_m=\Delta s/ \Delta t$

In der $\Delta t \rightarrow0$, erhält man die momentane Geschwindigkeit oder den Betrag des Geschwindigkeitsvektors:

Da die differentielle Länge des Bogens  $ds=r.do$ ist, können wir $v (m/s)$ durch $w (rad/s)$ ausdrücken

$v=r. d \theta/dt=r.w$

Gleichförmige Kreisbewegung

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Vektors (der Geschwindigkeit) konstant, aber die tangentiale Richtung von $\vec{v}$ ändert sich kontinuierlich. Aufgrund dieser Richtungsänderung ist eine gleichförmige Kreisbewegung immer eine beschleunigte Bewegung. Der Beschleunigungsvektor $\vec{a}$ steht senkrecht auf diesem Umfang und zeigt immer zur Mitte hin. Deshalb wird in diesem Zusammenhang auch von Radial- oder Zentripetalbeschleunigung gesprochen.

Ungleichmäßige Kreisbewegung

Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung variiert das Geschwindigkeitsgröße an jedem Punkt und es gibt eine tangentiale Beschleunigungskomponente, sodass der Beschleunigungsvektor zwei Komponenten hat:

Die Radialbeschleunigung ist der Richtungsänderung von $\vec{v}$ zugeordnet

$a_r= v^2/r= \omega^2.r$

Die Tangentialbeschleunigung ist mit der Variation des Größe von $\vec{v}$ verbunden:

$a_t= d | \vec{v}|/dt=d( \omega r)/dt=r. \alpha$

Dabei ist $r$ der Radius des Umfangs $\omega$ und die Winkelgeschwindigkeit $(rad/s)$ und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung $(rad/s^2)$.

Bei der Vektoranalyse von Kreisbewegungen ist es einfacher, ein Polarkoordinatensystem zu verwenden, da dieses ein zweidimensionales Koordinatensystem ist.
In diesem System ist die Position eines Punktes P, der die kartesischen Echokoordinaten $(x,y)$ hat, durch seinen Abstand zum Ursprung,$r$, und durch den Winkel $\theta$ (gemessen in Bezug auf die x-Achse in der Richtung gegen den Uhrzeigersinn) festgelegt.

Wir können die Positionsvektoren $\vec{r}$, die Geschwindigkeit $\vec{v}$  und die Beschleunigung $\vec{a}$  in Bezug auf die Einheitspolarvektoren schreiben.

Polare Einheitsvektoren $( \vec{r}, \vec{ \theta } )$

Der radiale Einheitsvektor $\vec{r}$ hat die Richtung des Positionsvektors und der polare Einheitsvektor $\vec{ \theta }$ steht senkrecht auf dem vorherigen. Diese Vektoren können als kartesische Einheitsvektoren $( \vec{x} , \vec{y})$ geschrieben werden. Der radiale Einheitsvektor ist:

$\widehat{r}=cos( \theta)\widehat{x} +sen( \theta)\widehat{y}$

Der tangentiale Einheitsvektor $\widehat{ \theta}$ wird unter Berücksichtigung von  $\widehat{ \theta} \bullet\widehat{r}=0$ und dessen Größe Eins erhalten:

$\widehat{\theta}=-sin( \theta)\widehat{x} +cos( \theta)\widehat{y}$

die zeitlichen Ableitungen der polaren Einheitsvektoren $(\widehat{r},\widehat{ \theta})$ (r, Theta) sind nicht Null:

$\frac{d\widehat{r}}{dt}=+w\widehat{ \theta}$

$\frac{d\widehat{\theta}}{dt}=-w\widehat{r}$

Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren

Bei einer Kreisbewegung ist der Geschwindigkeitsvektor v immer tangential zum Umfang und hat die Richtung der Tangentialeinheit des Vektors theta:

$\vec{v}= v. \widehat{ \theta}$

Der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung von $\vec{v}$, also:

$\vec{a} =$$\frac{\vec{dv}}{dt} \$  $=$$\frac{d}{dt} \$ $(v \widehat{ \theta})$$= v$$\frac{d \widehat{\theta}} {dt} \$ $+\widehat{ \theta}$ $\frac{dv}{dt} \$ $= (-v.w) \widehat{r} + \frac{dv}{dt} \widehat{ \theta}$

Unter Berücksichtigung von $\omega = v/r$  sehen wir, dass die Beschleunigung zwei Komponenten hat:

$\vec{a} =$$\frac{-v^2}{r} \$ $\widehat{r} +$ $\frac{d|\vec{v}|}{dt} \$ $. \widehat{ \theta}$

Der erste Term ist die radiale Komponente $\vec{a_r}$ und das negative Vorzeichen bedeutet, dass sie zum Mittelpunkt des Kreises und entgegengesetzt zum Einheitsvektor $\vec{r}$gerichtet ist. Der zweite Term ist die Tangentialkomponente "$\vec{a_r}$".