Dynamik I

Der Kraftbegriff

Die intuitive Vorstellung von Kraft kennen wir aus alltäglichen Erfahrungen. 💡 Wir identifizieren normalerweise eine Kraft mit jeder Art von „Ziehen“ oder „Schieben“. Kraft ist eine physikalische Größe, die einen Körper und seine Umgebung charakterisiert und quantifiziert. Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper besteht darin ihn zu verformen (d. h. seine Größe und Form zu ändern) oder seinen Bewegungszustand zu verändern.

Eine Kraft ist in der Lage, einen Körper zu beschleunigen. Ihr kann eine Größe, eine Richtung und ein Sinn zugeordnet werden. Darüber hinaus können wir Kräfte nach den Regeln der Vektoraddition kombinieren, daher ist die Kraft selbst eine Vektorgröße und wir können sie durch einen Pfeil darstellen, wie in der nachfolgenden Abbildung zu sehen.

Gesamtkraft 

Wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken, wird der Vektor oder die resultierende Summe aller Kräfte als Nettokraft bezeichnet.

$\vec{F}_{ges}= \Sigma \vec{F_i} = \vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}...$

Die allein wirkende Gesamtkraft erzeugt dieselbe Wirkung wie das System verschiedener Kräfte, die sie ersetzt und bildet. Im Fall von $\vec{F}_{ges}=0$ werden diese Kräfte als ausgeglichen bezeichnet.

Das Grundproblem der Dynamik besteht darin, die Gesetzmäßigkeiten aufzustellen, die die Kräfte mit dem Bewegungszustand eines Körpers verknüpfen. Isaac Newton hat dazu drei Grundsätze der Bewegungslehre formuliert. Diese sind unter den Formulierungen Newtonsche Gesetze, Newtonsche Prinzipien oder auch Newtonsche Axiome bekannt.

Wir haben uns dafür entschieden den Begriff Newtonsche Gesetze zu gebrauchen. Los geht's, schauen wir uns die drei Gesetze einmal an:

Newtons erstes Gesetz

Die Grundlagen für Newtons erstes Gesetz stammen von Galileo, der in seiner Forschung eine natürliche Tendenz von Objekten erkannte, ihren anfänglichen Bewegungszustand beizubehalten. Diese Tendenz nannte er Trägheit. Newtons erstes Gesetz ist den Schlussfolgerungen von Galileo sehr ähnlich und besagt, dass:

  „Jeder Körper in einem Zustand der Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung bleibt in diesem Zustand, wenn nicht eine Nettokraft auf ihn einwirkt." 

Das heißt, wenn die Geschwindigkeit eines Körpers nicht konstant ist, folgern wir, dass eine Nettokraft auf den Körper wirken muss.

• Masse:  

Die intuitive Vorstellung, die wir alle von Masse haben, ist die, dass es etwas mit dem Ausmaß oder dem Gewicht einer Person oder eines Gegenstandes zu tun hat. Physikalisch formuliert, entspricht die Masse $m$ der Menge an Materie, die ein Körper besitzt. Genauer gesagt können wir sagen, dass Masse die Eigenschaft ist, die einem Körper seine Trägheit oder natürliche Tendenz verleiht, seinen Ruhezustand beizubehalten oder in Bewegung zu bleiben. Je mehr Masse ein Körper hat, desto schwieriger ist es, ihn unter Einwirkung einer Kraft zu bewegen oder seine Geschwindigkeit zu ändern. Das kennen wir auch aus dem Alltag: Um einen Kasten Wasser hochzuheben, Bedarf es einer größeren Anstrengung als wenn ich nur eine einzelne Flasche aus dem Kasten entnehme, wenn zwei Autos unterschiedlich groß und schwer sind, aber die gleiche Anzahl an PS haben, dann werden wir das kleinere und leichtere Auto deutlich schneller beschleunigen können als das größere usw. 😉

Nach einem von Mach vorgeschlagenen Verfahren können wir die Trägheitsmassen zweier Körper aus den Beschleunigungen vergleichen, die sie unter der Wirkung derselben Kraft erhalten. Angenommen, auf einer reibungsfreien Oberfläche werden zwei Blöcke mit einer zwischen ihnen zusammengedrückten Feder in Ruhe platziert. Wenn das System freigegeben wird, bewegen sich die Blöcke in entgegengesetzte Richtungen, sodass der leichtere Block eine größere Beschleunigung erhält. Da die Masse ein Maß für den Widerstand gegen Geschwindigkeitsänderungen ist, können wir die Beziehung zwischen den Massen zweier Körper als das Gegenteil der Beziehung zwischen den Beschleunigungen definieren, die sie erhalten.

$\dfrac{m_a}{m_b}= | \dfrac{a_b}{a_a} |$

Wenn wir in einem solchen Experiment für einen der Körper eine Masse von 1 kg als Bezugsnormal wählen, können wir durch Vergleichen die Masse jedes anderen Körpers bestimmen.

Newtons zweites Gesetz

Das zweite Newtonsche Gesetz drückt aus und quantifiziert, was mit einem Körper passiert, wenn eine Nettokraft auf ihn einwirkt:

"Die Beschleunigung eines Körpers ist direkt proportional zu der auf ihn wirkenden Nettokraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse."

Die Proportionalitätskonstante wird zweckmäßigerweise gewählt, um die Krafteinheit so zu definieren, dass das Produkt aus der Masse des Körpers und seiner Beschleunigung gleich der Nettokraft ist.

$\vec{F_{ges}}=m\vec{a}$

Die Richtung des Beschleunigungsvektors stimmt mit der der Nettokraft überein, unabhängig von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors. In dem besonderen Fall, dass die Nettokraft Null ist, ist die Beschleunigung Null und der Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, was mit dem ersten Hauptsatz übereinstimmt.

$\vec{F_{ges}}=m\vec{a}$

Newtons drittes Gesetz

Das erste und das zweite Gesetz befassen sich mit dem Verhalten eines einzelnen Körpers, das dritte Gesetz bezieht sich auf die gegenseitige Interaktion zwischen zwei verschiedenen und getrennten Körpern.

 „Immer wenn ein Körper A eine Kraft auf einen Körper B ausübt, übt der Körper B eine Kraft auf den Körper A aus, unabhängig von der Größe, aber in die entgegengesetzte Richtung.“

Das dritte Gesetz wird manchmal das Gesetz von Aktion und Reaktion genannt: Zu jeder Aktion gibt es eine entsprechende Reaktion. Um Verwirrung zu vermeiden, ist es wichtig zu bedenken, dass Aktions- und Reaktionskräfte auf unterschiedliche Objekte wirken.

Schauen wir uns einige Beispiele für Aktions- und Reaktionspaare an:

1. Wir können vorwärts gehen, weil der Boden unsere Füße in diese Richtung drückt, wenn wir uns gegen den Boden drücken.
2. Wenn ein Nagel eingetrieben wird, ist die vom Hammer auf den Nagel ausgeübte Kraft (die Aktion) gleich und entgegengesetzt zu der Kraft, die der Nagel auf den Hammer ausübt (die Reaktion).
3. In Abbildung $3$ übt die an die Wand gelehnte Person eine Kraft auf die Wand aus, die Reaktion der Wand ist eine gleiche und entgegengesetzte Kraft, die die Person drückt.

Gewicht und Masse eines Körpers

Masse und Gewicht beziehen sich auf zwei verschiedene Eigenschaften eines Körpers. 

• Die Masse ist eine grundlegende und inbegriffen Eigenschaft eines bestimmten Körpers, die seine Trägheit bestimmt, d.h. seinen Widerstand gegen die Änderung seines Bewegungszustands. 
• Gewicht ist die gravitative Anziehungskraft, die ein Himmelskörper (bei uns die Erde) auf einen Körper bestimmter Masse ausübt.

Wenn wir im zweiten Newtonschen Gesetz $(F_G = m \vec{a})$ das Gewicht des Körpers $F_G$ als Nettokraft und das der Schwerkraft $( \vec{g})$ als die Beschleunigung verwenden, die es erhält, wird das Gewicht eines Körpers der Masse $m$ ausgedrückt durch:

$F_G=m.\vec{g}$

Beachte, dass die Masse $m$ nicht vom Wert von $g$ abhängt, aber das Gewicht $G$ davon abhängt.

• Masseneinheit: Das Kilogramm

Im internationalen Einheitensystem (SI) ist die Einheit der Beschleunigung $Meter/Sekunde^2 (m/s^2)$. Sowohl der Meter als auch die Sekunde sind Grundeinheiten. Die dritte Grundeinheit der Mechanik ist die Masse: das Kilogramm $(kg)$. Das Referenz-Standardkilogramm ist ein zylindrischer Barren aus Platin-Indium, der in Sevres, Frankreich, aufbewahrt wird.

• SI-Einheit der Kraft: Das Newton

Die SI-Einheit der Kraft ist das Newton  $(N)$.

Das Newton ist eine von den Grundeinheiten abgeleitete Einheit und nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Kraft, die auf eine Masse von 1 kg eine Beschleunigung von $1 m/s^2$ ausübt.

$1 Newton =$  $1N = 1 kg.m/s^2$

Die Dimension der Kraft ist:  $[F]= \frac{[M][L]}{[T]^2}$

Wenn wir Gewichte an das Ende einer Feder hängen, kann die Federdehnung erfasst werden, um Kräfte zu messen. Eine auf diese Weise kalibrierte Feder wird $Dynamometer$ genannt. Dies ist das Arbeitsprinzip vieler Waagen.

Der Charakter einer Bewegung ist vom gewählten Bezugsrahmen abhängig. Ein Körper könnte relativ zu einem Bezugssystem in Ruhe sein. Daher kann Newtons erstes Gesetz nicht gleichzeitig in mehreren Referenzrahmen gelten. 

Newtons erstes Gesetz definiert eine Art von Referenzrahmen, genannt Trägheitsreferenzrahmen, in dem ein Körper nicht beschleunigt, wenn er nicht gestört wird. In einem Inertialsystem - einem Bezugssystem in dem ein kräftefreier Körper sich entweder geradlinig-gleichförmig bewegt oder in Ruhe verharrt - ist die Beschleunigung eines Körpers das Ergebnis von Kräften, die von verschiedenen, identifizierbaren Ursprüngen/Ursachen ausgehen.

  Problemlösungsstrategien

Die Lösung der Probleme in der Dynamik erfordert eine Reihe von Strategien, bei denen es notwendig sein kann, Intuition und Kreativität ins Spiel zu bringen. Begegnest du in der Schule oder im Studium solch einem Problem, so würde ich dir immer empfehlen, einen Aktionsplan zu befolgen, der in mehreren Phasen organisiert ist:

1. Identifiziere den oder die zu analysierenden Körper und die Umgebung von jedem von ihnen (Oberflächen, Seiten, Federn und andere Körper)
2. Isoliere jeden Körper und erstelle ein Diagramm, das alle auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte zeigt. Dies ist ein sogenanntes Freikörperdiagramm.

   4. Wende das zweite Newtonsche Gesetz auf orthogonale Komponenten auf jedes Freikörperdiagramm an.
   5. Löse die Gleichungen nach den Unbekannten auf. Es müssen so viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sein. Ersetze schließlich die numerischen Werte in den erhaltenen algebraischen Ausdrücken.
    6. Sind die Ergebnisse angemessen? Es ist eine Frage, die wir uns immer wieder stellen müssen. Der Einsatz von Dimensionsanalysen kann als Lösungsprüfung sinnvoll sein. In vielen Fällen konnten die Vorhersagen der Lösung für Extremwerte der Variablen verifiziert werden. Dies würde es ermöglichen, etwaige Fehler oder Inkonsistenzen zu erkennen.

1)   Eine Flugbegleiterin schiebt ihren Koffer mit der Masse $m=30kg$ auf eine horizontale Fläche und zieht ihn am Riemen mit einer Kraft $\vec{ F}$, die mit der Horizontalen einen Winkel $\theta= 36,9 ^{\circ}$ bildet. Die Reibung zwischen Koffer und Boden wird vernachlässigt.

• a) Wenn $F= 450 N$ ist, wie groß ist dann die Beschleunigung des Koffers?
• b) Welche Normalkraft übt der Boden auf den Koffer aus?
• c) Angenommen, der Wert der Kraft wird allmählich erhöht: Bei welchem ​​Wert von F verliert der Koffer den Bodenkontakt?

Lösung: 

a) Die auf den Koffer wirkenden Kräfte sind im Freikörperbild dargestellt. Zu der auf den Riemen wirkenden Kraft $\vec{F}$ kommen hinzu: die Gewichtskraft $m \cdot g$ und die vom Boden ausgeübten Normalkräfte auf jedes der vier Räder. Wir haben dies durch einen Vektor $\vec{N}$ dargestellt. Wir können das zweite Newtonsche Gesetz in Form von kartesischen Komponenten anwenden.

$\Sigma F_x= F.cos(\theta)= m.a$

 $\Sigma F_y= F.sin(\theta) +N-m.g=0$

$a= F. \frac{cos(\theta)}{m} = 450 N. \frac{ cos(36.9)}{30 kg} = 12 m/s^2$

c) Wenn die Größe der angelegten Kraft erhöht wird, behält der Koffer den Kontakt bei, solange die Normalkraft positiv bleibt $m.g > F.sin(\theta)$. Der kritische Wert von $\vec{ F}$  entspricht $N=0$ .

$N=m.g = F.sin(\theta) -> F_c =\dfrac{ m.g}{sin(\theta)} = 30kg.\dfrac{ 9,8 m/s^2}{sin (36,9)} = 490 N$

2)  Eine Person übt eine horizontale Kraft $\vec{ F}$ aus, um einen Einkaufswagen eine Rampe mit einem Neigungswinkel $\theta = 20°$ hinaufzuschieben. Die Gesamtmasse des Wagens mit der Ladung beträgt  $m=30kg$  und die Reibung zwischen dem Wagen und der Rampenoberfläche wird vernachlässigt.

• a) Berechne die Kraft, um den Wagen in Ruhe zu halten.
• b) Wenn eine Kraft F aufgebracht wird, die den doppelten Wert hat, bestimme die Beschleunigung des Wagens.

Lösung:

a) Zuerst zeichnen wir das Freikörperbild für den Wagen. Es gibt drei Kräfte: das senkrecht nach unten wirkende Gewicht m.g, die von der Person aufgebrachte Horizontalkraft $\vec{F}$ und die senkrecht zur Ebene wirkende Normalkraft. Bei solchen Problemen mit schiefen Ebenen ist es zweckmäßig, Koordinatenachsen mit $X$ entlang der Neigung und $Y$ senkrecht dazu zu wählen. Auf diese Weise hätte die Beschleunigung eine einzige Komponente. Wenn der Wagen ruht, ist seine Beschleunigung Null und die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes in Komponentenform ergibt:

$\Sigma F_x= F.cos(\theta) -m.g.sin(\theta)=0$

$\Sigma F_y= N- F.sin( \theta) -m.g.cos(\theta)=0$

$F=m.g \frac{ sin(\theta)}{cos(\theta)}= m.g. tan(\theta)= 30 kg. (9,8 m/s^2) .tan( 20^0)= 107 N$

$F_x = F_2. cos(\theta)-m.g. sin (\theta) =m.a$

Beim Lösen erhalten wir die Beschleunigung:

$a= \frac{ F_2.cos(\theta) -m.g.sin(\theta)}{m} = 2 \frac{F}{m} .cos(\theta)-g.sin(\theta)$

$a= 2 \frac{ (107 N)}{30kg} cos(20^0) – (9,8 m/s^2) .sin(20^0) = 3,35 m/s^2$

Lösung: Wenn die Studentin das Seil nach unten zieht, zieht das Seil diese nach dem dritten Newtonschen Gesetz mit einer gleich großen Kraft $\vec{T}$ nach oben. Auf dem Freikörperbild sind die beiden auf die Studentin einwirkenden Kräfte eingezeichnet: wenn das Gewicht m.g nach unten und die Spannung in dem Seils $\vec{T}$. nach oben zeigt.

Wenn die Studentin versucht, sehr langsam (fast in Ruhe) nach unten zu gehen, würde die Spannung im Seil, die ihr Gewicht ausgleichen würde, etwa $500 N$ betragen und das Seil würde sofort reißen. Daher muss sie beschleunigt gleiten, damit die Spannung im Seil den Grenzwert von $400 N$ nicht überschreiten kann. Die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes ergibt:

$\Sigma F_y= m.g -T=m.a_y$

 $a_y = \frac{ (m.g-T)}{m}= \frac{( m.g-T)}{m.g }.g$

$a_y=  \frac { (500N-400N)}{ 500N} .(9,8 m/s^2) = 1,96 m/s^2$

• a) Finde die Spannung der Kette in ihrem Mittelpunkt.
• b) Finde die Kraft, die jede Stütze auf die Enden der Kette ausübt.

Lösung: 

a) Wir zeichnen das Freikörperbild für eine Hälfte der Kette. $T_0$  sei die Kettenspannung am tiefsten Punkt, $T$ die Spannung am Stützpunkt und $w/2$ das Gewicht der halben Kette, das auf ihren Schwerpunkt wirkt.

Die Translationsgleichgewichtsgleichungen lauten:

$\Sigma F_x= T_0-T.cos(\theta)= 0  \Rightarrow T_0= T.cos(\theta)$

$\Sigma F_y= -W/2+ T.sin(\theta) =0  \Rightarrow W/2 = T.sin(\theta)$

$\frac{ T_0}{(W/2)} = \frac{cos(\theta)}{ sin(\theta) } = cotan (\theta)    \Rightarrow  T_0 = \frac{W}{ 2.tan(\theta)}$

b) Setzen wir nun T_0 in Gleichung (1) ein, so erhalten wir die Spannung in den Stützpunkten:

$T= \frac{ T_0}{ cos(\theta)} = \frac {W}{2.sin(\theta)}$

5)    Eine $50 kg$ schwere Person steht auf einer Waage in einem Aufzug. Die Skala ist in Newton  eingestellt. Was wird die Skala in den folgenden Fällen anzeigen?

• a) Der Aufzug fährt mit konstanter Geschwindigkeit nach oben oder unten.
• b) Der Aufzug fährt mit einer Beschleunigung  $a= +5,2 m/s^2$ nach oben
• c) Der Aufzug fährt mit einer Beschleunigung $a= -5,2 m/s^2$ nach unten
• d) Wenn die Aufzugseile reißen.

Lösung:

Wir wählen einen Trägheitsbezugsrahmen außerhalb des Aufzugs (fest am Boden). Die auf die Person wirkenden Kräfte sind: die von der Waage ausgeübte Kraft $N$ (Waagenanzeige) und das wahre Gewicht. $mg$. Wenn wir die positive Richtung nach oben wählen und das zweite Newtonsche Gesetz anwenden, haben wir:

$\Sigma F_y= N-mg= m.a    \Rightarrow  N=m( g+a)$

a) Wenn die Geschwindigkeit des Aufzugs konstant ist ( $\vec{a}$ ist Null), ist das scheinbare Gewicht der Person gleich ihrem wahren Gewicht.

$N=mg = (50kg) (9,8m/s^2)= 490N$

b) Wenn der Aufzug nach oben beschleunigt $(a= +5,2 m/s^2)$, ist das scheinbare Gewicht der Person größer als das wahre Gewicht:

$N= m(g+a)= ( 50 kg)(9,8 m/s^2 + 5,2 m/s^2) = 750 N$

c) Wenn der Aufzug nach unten beschleunigt $(a=-5,2 m/s^2)$, ist das scheinbare Gewicht der Person geringer als ihr wahres Gewicht:

$N= m( g+a)= ( 50 kg) ( 9,8 m/s^2 -5,2 m/s^2) = 230 N$

Diese Effekte werden von der Person als Zunahme oder Abnahme des Aufwärtsschubs empfunden, den ihre Füße erhalten. Beachte, dass es auf die Richtung der Beschleunigung in Bezug auf die Bewegungsrichtung des Aufzugs ankommt. Dabei spielt es keine Rolle, ob der Aufzug nach oben oder nach unten fährt.

d) Wenn die Aufzugseile reißen, die den Aufzug tragen, fallen sowohl der Aufzug als auch die Person frei $(a=-g)$ und es gibt keine Normalkraft $N= M(g-g)=0$. Das heißt, das scheinbare Gewicht wird Null sein.

Die grundlegenden Wechselwirkungen

In der Natur finden wir verschiedene Arten von Kräften. Letztendlich resultieren diese aus vier grundlegenden Wechselwirkungen:

1. Gravitationswechselwirkung: Sie hängt mit einer Eigenschaft der Materie zusammen, die „Masse“ genannt wird, und manifestiert sich in der gegenseitigen Anziehung zwischen allen Körpern.
2. Elektromagnetische Wechselwirkung: Sie manifestiert sich als Anziehung oder Abstoßung zwischen Teilchen mit "elektrischer Ladung". Die elektromagnetische Wechselwirkung ist dafür verantwortlich, Atome und Moleküle in der Materie zusammenzuhalten.
3. Schwache Wechselwirkung: Sie äußert sich in bestimmten Prozessen des radioaktiven Zerfalls und in Reaktionen zwischen Elementarteilchen.
4. Starke Wechselwirkung: Das ist die Art von Kraft, die die Bestandteile der Atomkerne, Protonen und Neutronen, sowie die Quarks innerhalb dieser Teilchen zusammenhält.

Die  Gravitationskraft/ Schwerkraft.

Die Erdanziehungskraft, die von der Erde auf den Mond und die künstlichen Satelliten ausgeübt wird, ist dafür verantwortlich, dass sie in der Umlaufbahn um ihn herum gehalten werden. Betrachtet man die Erde als gleichförmige Kugel der Masse $M$ und des Radius $R$, so ist die Anziehungskraft, die sie auf ein Objekt der Masse $m$ in der Höhe $h$ auf ihrer Oberfläche ausübt:

$\vec{F}_g =G.\dfrac{m.M}{R^2}(-\vec{r})$

$G=6,67.10^{-11} \dfrac{ N.m^2}{kg^2}$, die universelle Gravitationskonstante. In Bezug auf die Erdbeschleunigung

$\vec{F}_g=m.\vec{g}$     mit      $\vec{g}=\dfrac{G.M}{R^2} (-\vec{r})$

Die Schwerkraft ist für das Gewicht von Körpern verantwortlich. Wendet man das zweite Newtonsche Gesetz $(\vec{F}=m\vec{a})$auf den frei fallenden Körper der Masse $m$ an, so kann man schlussfolgern dass aus $\vec{F}=m\vec{g}$,   $\vec{a}=\vec{g}$ folgt. Mit anderen Worten, am gleichen Ort auf der Erde fallen alle Körper unabhängig von ihrer Masse mit der gleichen Beschleunigung.

Mit Ausnahme der irdischen Schwerkraft sind alle Kräfte in unserer makroskopischen Umgebung im Wesentlichen elektromagnetischen Ursprungs. Diese Kräfte werden auf mikroskopischer Ebene zwischen den Materieatomen erzeugt. Die elastischen Kräfte von Federn, die Spannung eines Seils und die Kontaktkräfte zwischen Objekten wie Reibungs- und Adhäsionskräfte sind elektrischer Art.

Kontaktkräfte

Beim Kontakt von Objekten wirken durch die Wechselwirkung der Moleküle des einen Körpers mit denen des anderen Körpers Kräfte aufeinander ein. Die sogenannte Kontaktkraft hat im Allgemeinen zwei Komponenten:

• Eine Komponente senkrecht zur Oberfläche, die Normalkraft  $\vec{F_N}$ genannt wird
• und eine tangentiale Komponente $\vec{F}_R$, die Reibungskraft genannt wird.

Statische Reibung

Angenommen, wir versuchen ein Objekt auf einer horizontalen Oberfläche zu verschieben, indem wir eine kleine Kraft $\vec{F}$ anwenden. Zunächst verhindert die Reibungskraft $\vec{F}_H$ eine Relativbewegung und wir haben den statischen Fall. Wenn wir die aufgebrachte Kraft erhöhen, steigt auch die Haftreibungskraft, und wenn wir das Objekt nicht bewegen können, liegt das daran, dass sich diese Kraft auf den geeigneten Wert anpasst, um das Gleichgewicht zu halten.

Gleitreibung

Wenn die aufgebrachte Kraft groß genug ist, um die Haftreibung zu überwinden, tritt "Schlupf" auf: Sobald das Objekt gleitet, gibt es eine kinetische Reibungskraft $F_k$, die der relativen Bewegung zwischen den beiden Oberflächen entgegenwirkt. Ihr Wert ist proportional zur Normalkraft $\vec{N}$.

Die Reibungskoeffizienten hängen von der Art der Kontaktflächen ab und sind $\mu \leq \mu_0$. Diese sind nahezu unabhängig von der Kontaktfläche zwischen den Oberflächen.

• Reihenschaltung von Federn:

• Parallelschaltung von Federn:

Parallelschaltung bedeutet, dass zwei oder mehr Federn nebeneinander wirken. Auf diese Weise wird eine Angriffskraft auf alle Federn verteilt. Diese Federn können unterschiedliche Federkonstanten und unterschiedliche Längen haben.

Parallel geschaltete Federn werden durch Addition der Federkonstanten berechnet, wodurch eine sogenannte Ersatzfeder mit einer äquivalenten Federkonstante (bzw. der resultierenden Federkonstante) entsteht. Da die Federn nebeneinander wirken und die Kraft verteilt wird, ergibt sich im Prinzip eine stärkere/härtere Gesamtfeder. Richtig ist hier allerdings der Begriff Ersatzfeder, da die Summe aller Federn als eine betrachtet wird.

Um die Ersatzfederkonstante zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

$k_{ers}= \sum{k_i}=k_1+k_2+... +k_n$

Ersatzfederkonstante in Parallelschaltung von Federn:  $\frac{1}{k_{ers}}= \sum {\frac{1}{k_i}}= \frac{1}{k_1}+ \frac{1}{k_2}+... \frac{1}{k_n}$

Stellen wir uns ein Objekt vor, das sich auf einem Kreis mit dem Radius $R$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ bewegt (gleichförmige Kreisbewegung). Da der Vektor $v$ die Richtung ändert, sagen wir, dass das Objekt eine Beschleunigung $v^2/R$ erfährt und auf das Rotationszentrum gerichtet ist (Zentripetalbeschleunigung). Nach Newtons zweitem Gesetz gilt:

$F=\dfrac{m.v^2}{R} (-\vec{r}) N$

Ungleichmäßige Kreisbewegung

Wenn die auf ein rotierendes Objekt ausgeübte Kraft nicht auf den Kreismittelpunkt gerichtet ist, sondern mit der radialen Linie einen Winkel bildet, hat die Beschleunigung des Teilchens zwei Komponenten, eine radiale und eine tangentiale.

Die tangentiale Komponente der Kraft wirkt, um den Geschwindigkeitsmodul zu erhöhen oder zu verringern und verursacht eine tangentiale Beschleunigung:

$a_t=\frac{dv}{dt}$

Die radiale Komponente bewirkt die Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors:

$a_z=\frac{v^2}{R}$

Kräfte in beschleunigten Systemen

Die Newtonschen Gesetze gelten nur für Inertialbeobachter. Angenommen, eine Schülerin steigt mit einem Koffer auf Rädern in den Zug. Wenn der Zug mit einer Beschleunigung $\vec{a}$ anfährt, bemerkt der Inertialbeobachter am Bahnsteig, $ruhender Beobachter$, dass sich der Koffer im Vergleich zu ihm „nicht bewegt“ und schließt daraus, dass keine Nettokraft auf ihn einwirkt, wie durch das erste Newtonsche Gesetz festgelegt.

Die im Zug sitzende, nicht-inertiale Beobachterin (mitbewegte Beobachterin)  teilt die Meinung, dass keine Nettokraft auf den Koffer wirkt, aber beobachtet dennoch mit Erstaunen, dass ihr Koffer von ihr wegrollt. Daher muss die mitbewegte Beobachterin, wenn sie den Konflikt mit Newtons zweitem Gesetz überwinden will, unbedingt davon ausgehen, dass irgendeine mysteriöse, nach hinten gerichtete Kraft auf den Koffer wirkt.

$F=-ma$

Diese Kraft wird als Trägheitskraft oder Pseudokraft bezeichnet, da ihre Existenz ausschließlich von der Bewegung des Beobachters abhängt und mit keinem Wechselwirkungsmechanismus verbunden ist. Das heißt, die Kraft wird nicht von einem externen Verursacher ausgeübt und entspricht daher nicht dem dritten Newtonschen Gesetz.

Diese Kräfte in beschleunigenden Rahmen werden auch als fiktive Kräfte bezeichnet, sind aber in ihrer Wirkung genauso real wie die Schwerkraft.

Pseudokräfte in rotierenden Rahmen

Die Abbildung zeigt eine Kugel der Masse m, die an einer Schnur aufgehängt und an einer Plattform befestigt ist, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit $w$ dreht. Ein außerhalb befindlicher Inertialbeobachter (ruhender Beobachter) sieht, wie die Kugel mit der Winkelgeschwindigkeit $w$ einen Umfang vom Radius $R$ beschreibt. Er erklärt seine Beobachtung damit, dass die kleine Kugel zum Mittelpunkt des Umfangs hin beschleunigt wird und ihre Zentripetalbeschleunigung $w^2R$ auf eine unausgeglichene zentripetale (nach innen gerichtete) Kraft zurückzuführen ist, die in diesem Fall die horizontale Komponente der Spannung in der Schnur ist . . .

Der mit der Plattform rotierende nicht-Inertialbeobachter (mitbewegter Beobachter) interpretiert das Phänomen auf andere Weise. Ihm zufolge ruht die kleine Kugel und beschleunigt nicht. Er besteht darauf, Newtons 2. Gesetz anzuwenden, und da es keinen identifizierbaren Akteur gibt, der die Kugel nach außen drückt, hält er es für notwendig, eine Pseudokraft der Größe $mw^2R$ zu erfinden, die radial „nach außen“ wirkt. Diese Trägheitskraft gleicht die horizontale Komponente der Schnuspannung aus, sodass die Nettokraft auf die Kugel Null ist.

Die Pseudokraft, die von einem mitrotierendem Beobachter wahrgenommen wird, wird als Zentrifugalkraft (nach außen) bezeichnet. Diese Art von Kraft ist jedem wohlbekannt, denn wir fühlen zum Beispiel, wenn wir in einem Auto um die Kurve fahren, eine Art unsichtbare Hand, die uns nach außen drückt.

Es ist wichtig klarzustellen, dass für Inertial Beobachter niemals Zentrifugalkraft vorhanden ist. Von außen betrachtet liefert die Reibung zwischen Reifen und Fahrbahn die Zentripetalkraft, die das Auto selbst beschleunigt. Die zentripetale Normalkraft der Autotür drückt den Passagier und zwingt ihn, sich auf der gekrümmten Bahn zu bewegen.

Corioliskraft

Schließlich müssen wir erwähnen, dass, wenn sich ein Objekt in Bezug auf ein rotierendes Bezugssystem bewegt, zusätzlich zur Zentrifugalkraft eine zweite Pseudokraft auftritt, die Corioliskraft genannt wird, die rechtwinklig zum Geschwindigkeitsvektor wirkt.

Widerstandskräfte in einer Flüssigkeit

Viskose Widerstandskräfte können zwischen einer Flüssigkeit (Flüssigkeit oder Gas) und einem Festkörper mit Bewegung relativ zur Flüssigkeit und auch zwischen Teilchen derselben Flüssigkeit entstehen. Ein Körper, der sich durch eine Flüssigkeit bewegt, erfährt eine Widerstandskraft, die von der Form des Körpers und den Eigenschaften des Mediums abhängt, in dem er sich bewegt. Im Allgemeinen nimmt diese Kraft mit der Geschwindigkeit zu. Wenn ein Körper in eine Flüssigkeit fällt, wirkt die Widerstandskraft in die entgegengesetzte Richtung zur Bewegung, und wenn sie gleich dem Gewicht des fallenden Körpers wird, erreicht sie ihre maximale oder Endgeschwindigkeit.

1)    Eine Flasche der Masse $m= 0,5 kg$ wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0=1,5 m/s$ horizontal über eine Tischfläche nach rechts geschubst. Die Flasche gleitet in einer geraden Linie und verlangsamt sich über eine gewisse Strecke $x = 0,25 m$, bevor sie zum Stillstand kommt. Unter der Annahme, dass die Reibungskraft konstant bleibt, wie groß ist der kinetische Reibungskoeffizient zwischen der Flasche und dem Tisch?.

Lösung:

Sobald die Flasche geschubst wird, wirken auf sie folgende Kräfte: ihr Gewicht $m.g$, die vom Tisch ausgeübte Normalkraft $N$ und die kinetische Reibungskraft $F_R$, die eine horizontale Verzögerung erzeugt.

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes in Komponentenform:

$\Sigma F_y=N-mg=0    \Rightarrow N= mg$

$\Sigma F_x= -F_R=m.a  \Rightarrow - \mu_0 .N= -\mu_0.m.g =m.a$

$a= -\mu_0.g$

$v^2 = v^2_0 +2ax$

$v^2_0+2ax = v^2_0 -2 \mu g.x=0$

2)    Ein Block der Masse $m_1$ wird auf einen anderen Block der Masse $m_2$ gelegt, der wiederum auf einer glatten horizontalen Oberfläche ruht. Auf den Block $m_2$ wird eine horizontale Kraft $\vec{F}$ ausgeübt. Finde die Beschleunigung jedes Blocks in den folgenden Fällen:

• a) Wenn es keine Reibung zwischen den Blöcken gibt.
• b) Wenn die Oberflächen zwischen den Blöcken rau genug sind, um sicherzustellen, dass $m_1$  nicht über $m_2$ rutscht.
• c) Wenn der obere Block auf dem unteren gleitet aufgrund des Einflusses der kinetischen Reibung mit dem Koeffizienten $\mu$.

Lösung:

a) Wenn es keine Reibung gibt, wird keine horizontale Kraft auf den Block $m_1$ ausgeübt und seine Beschleunigung wird Null sein $(a_1=0)$. Auf den Block $m_2$ wird eine Nettokraft F ausgeübt. Die Beschleunigung beträgt:

$a_2= \frac{ F}{m_2}$

b) Wenn genügend Reibung zwischen den Blöcken vorhanden ist, bewegen sie sich zusammen. Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes auf die kombinierte Masse:

$\Sigma F_x = F= (m_1+m_2)a    -> a_1=a_2=a= \frac{ F}{ (m_1 +m_2)}$

c) Wenden wir Newtons 2. Gesetz auf jeden Block an, haben wir:

Block 1:  $\Sigma F_y=N_1-m_1.g=0$ (1)

$\Sigma F_x= F_R= \mu N_1=m_1.a_1$ (2)

Wenn wir die Gleichungen (1) und (2) kombinieren, finden wir $a_1=\mu. g$

Block 2: $\Sigma F_x = F-F_R=m_2.a_2$

Unter Berücksichtigung, dass die kinetische Reibungskraft, die den Block $m_1$ drückt, $F_R=\mu.m_1.g$ ist, haben wir:

$a_2 = (F-\mu.m_1.g)/m_2$

3)    Ein Block der Masse $m_1$ wird auf einen Block der Masse $m_2$ gelegt. Auf Block $m_2$ wird eine horizontale Kraft $\vec{F}$ ausgeübt, während Block $m_1$ mit einem Seil an der Wand befestigt ist.

Wenn der Gleitreibungskoeffizient zwischen allen Oberflächen µ ist, bestimme:

• a) Die Spannung des Seils, das $m_1$ hält
• b) Die Beschleunigung des Blocks  $m_2$

Lösung:

Betrachten wir die Freikörperbilder für jeden Block separat. Der Block $m_1$ bewegt sich nicht und durch Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes haben wir:

$\Sigma F_x= F_{R1} -T=0 -> µ. N_1 =T$  (1)

$\Sigma F_y= N_1-m_1.g=0 -> N_1= m_1.g$  (2)

Die Kombination der Gleichungen (1) und (2) ergibt die Spannung im Seil:

$T= \mu. m_1.g$

Andererseits beschleunigt Block $m_2$ nach rechts:

Block 2:  $\Sigma F_x= F-F_{R1}-F_{R2}= m_2.a$ 

$\Sigma F_y= N_2-N_1-m_2.g=0$

Ersetzen der Ausdrücke von $N_1, F_{R1}$ und $F_{R2}$:

$F-\mu. m_1.g -\mu.N_2= m_2.a$

$N_2-m_1.g -m_2.g=0$

Durch Multiplikation und Lösung der beiden vorherigen Gleichungen erhalten wir die Beschleunigung a von $m_2$:

$a= (F-(2.m_1+m_2) \mu.g/ (m_2)$

4)   Eine Person mit einem Gewicht von $m_1.g= 490 N$ hält einen Schrank mit einem Gewicht von $m_2.g=40 N$  im Ruhezustand an der Wand. Die Person übt eine Kraft vom Betrag $F=60 N$ aus, die mit der Horizontalen einen Winkel $\theta =30^0$ bildet. Finde:

• a) Den Mindestwert des Haftreibungskoeffizienten zwischen den Schuhen der Person und dem Boden, damit sie nicht rutschen.
• b) Den Betrag und die Richtung der von der Wand auf den Schrank ausgeübten Reibungskraft $F_{R2}$.

Lösung:

a) Wir machen das freie Körperdiagramm der Person im kritischen Zustand (kurz vor dem Rutschen).

$\Sigma F_y= N_1 -F.sin(\theta) -m_1.g=0$ (1)

$\Sigma F_x= \mu_{0_1}. N_1 - F.cos(\theta)=0$ (2)

Lösen wir $N_1$ aus Gleichung (1) und setzen es in Gleichung (2) ein, erhalten wir:

$\mu_0( F.sin(\theta)+m_1.g)-F.cos(\theta)=0$ 

Der Mindestwert des Haftreibungskoeffizienten beträgt:

$\mu_{0_1}= \frac{ F.cos(\theta)}{(Fsin(\theta) +m_1.g) } =  \frac{ 60.cos(30)}{(60sin(30)+490)} = 0,10$

b) Um das Gleichgewicht zu halten, ist die Summe der vertikalen Kräfte Null:

$\Sigma F_y = F_{R2} + F.sin(\theta )-m_2.g=0$

Die Reibungskraft, die ein Verrutschen des Schranks verhindert, beträgt:

$F_{R2}= m_2.g-F.sin(\theta)=40-60.sin(30)=10N (nach oben)$

5)    Der „Rotor“ von Vergnügungsparks besteht aus einem rotierenden Zylinder mit einem Boden, der verschwindet, nachdem die Menschen dank Fliehkraft und Reibung an der Wand haften bleiben. Angenommen, ein Student mit einer Masse $m= 50 kg$ wird in eine Trommel mit einem Radius $R=2 m$ gesetzt, die eine Rotationswinkelgeschwindigkeit von $w= 30 U/min$ erreicht.

• a) Wie groß ist die Normalkraft, die den Schüler gegen die Wand drückt?
• b) Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient $\mu _0$ zwischen Schüler und Wand mindestens sein?
• c) Angenommen, sein Freund, ein $100-kg-Junge$, wird jetzt in die Trommel gesetzt. Fällt dieser aus der Trommel, wenn der Boden entfernt wird?

Lösung: 

a) Laut einem Trägheitsbeobachter verursacht die von der Wand der Trommel auf den Student ausgeübte Normalkraft die zentripetale Beschleunigung bei seiner Bewegung:

$\Sigma F_R=N= m.a_r -> N= \frac{ m.v^2}{R}=mRw^2$

$N= (50kg) (2m)[ (30 U/min)(2 \pi rad/U)(min/s) ]^2 = 987 N$

b) Die Haftreibungskraft muss das Gewicht des Studenten ausgleichen. Daher muss der Mindestwert des Haftreibungskoeffizienten eingehalten werden, damit er nicht rutscht:

$\Sigma F_y= F_R -mg=0 \Rightarrow F_R = \mu_0. N=mg$

Verwenden folgenden Ausdruck für die Normalkraft.

$\mu_0. m.R.\omega^2=m.g \Rightarrow \mu_0= \dfrac{g}{R.\omega^2}= \dfrac{9,8 m/s^2 }{(2.m)((\pi .rad/s)^2} =0,50$

c) Der Zusammenhang zwischen $\omega$  und dem Koeffizienten von $\mu_0$ ist unabhängig von der Masse der Person. Deshalb bleibt auch der $100 kg$ schwere junge Mann hängen, solange sein Reibungskoeffizient größer ist als der Mindestwert $(\mu_0 >= 0,50 )$ .Kleidung aus Seide verboten! ;) (Seide hat einen sehr niedrigen Reibungskoeffizienten.)