Mathematik 01 - Grundlagen

Kursthemen

• Mathematische Grundlagen

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  • In diesem Abschnitt werden mathematische Grundlagen behandelt. Wenn du diese Grundlagen als Werkzeug 🛠 betrachtest, dann wird dir das Verständnis darüber und insbeonsdere die Anwendung davon dabei helfen, verschiedene mathematische Probleme zu Lösen. 👊

    🎯 Nach der Bearbeitung dieses Moduls solltest du: 

    • Binomische Formeln kennen und anwenden können
      
    • Brüche erweitern und kürzen, sowie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können
    • Potenzen und Wurzeln vereinfachen und berechnen, sowie Potenz- und Wurzelgesetze anwenden und die Zusammenhänge verstehen können
      
    • Logarithmen kennen gelernt und verstanden haben
      

    Da in diesem Modul Grundlagen behandelt werden, ist der Eingangstest eher ein Test, zu dem du immer wieder zurückkehren kannst um dich selber einschätzen zu können und es gibt keine verschiedenden Schwierigkeitsgrade in den anderen Tests.
    Sieh dieses Modul als Chance zur Wiederholung von grundlegenden Rechenoperationen und forder dich selbst in den kurzen Quizzen heraus. 😉
    
    Die Bearbeitunsgdauer für das gesamte Modul beträgt maximal bis zu 120 Minuten ⌛️ Lass dich davon aber nicht abschrecken. 😜 Dies ist nur eine ungefähre Einschätzung wenn du dir alle Inhalte ausführlich ansiehst. Du kannst dieses Modul jederzeit verlassen und zurückkommen und da weitermachen wo du aufgehört hast. ⏯ Du entscheidest also selbst wie viel Zeit du mit den mathematischen Grundlagen verbringen möchtest. 😉
    

    🌠 Zum Start empfehlen wir dir, eine Partie unseres PepperMINT Memory zum Umformen von Termen und Gleichungen zu spielen. 🎮

    • Aber Achtung, die Uhr tickt und du spielst gegen das Spiel ⏳

  • 

    Eingangstest
  • • Memory ("Warmup")

    Nach diesem "Warmup" hoffen wir dass das Memory etwas Spaß gemacht hat und du herausfinden konntest, wie fit du im Ausmultiplizieren von Termen bist und wo du vielleicht noch Schwächen hast, die du nun mithilfe von PepperMINT ausmerzen kannst ! 🥳
    
    Für die kommenden Aufgaben solltest du dir bei Bedarf Stift und Papier herauslegen 📝
    

  • 

    Memory Game H5P
  • • Binomische Formeln

    Was sind die binomischen Formeln und wie kannst du sie selber herleiten? 🤔

    Die drei binomischen Formeln lauten: 

    • Erste binomische Formel: $(a + b)^{2}=a^2+2ab+b^2\$
    • Zweite binomische Formel: $(a - b)^{2}=a^2-2ab+b^2\$
    • Dritte binomische Formel: $(a + b)(a - b)=a^2 - b^2\$

    Der nachfolgende Link führt zu einer externen Internetseite, die ggf. andere Datenschutzvorgaben erfüllt als wir es auf dieser Plattform tun. Dabei können Daten von dir übertragen und weiterverarbeitet werden. Wenn du dich allgemein zum Thema Datenschutz erkundigen möchtest, empfehlen wir dir die Erklärvideos der Initiative Datenschutz geht zur Schule.

    Das Pascalsche Dreieck bietet dir eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten. Daraus lassen sich höhergradige binomische Formeln leicht ableiten. 👉 Dieses Video 👈zeigt dir wie das geht. 🤓

    Lassen sich die drei binomischen Formeln auch selber herleiten? 🤔

    Die Antwort ist ja. Die binomischen Formeln kannst du entweder rechnerisch oder grafisch selber herleiten. Wie das geht, zeige ich dir. 👇 Lies dir dazu die Texte durch oder springe direkt zu den jeweiligen Videos. 📽
    

    Erste binomische Formel: $(a + b)^{2}=a^2+2ab+b^2\$

    Rechnerische Methode:

    Rein rechnerisch kannst du die erste binomische Formel selber prüfen indem du den Term (a+b)² ausmultiplizierst. 

    Der Rechenweg sieht dann so aus: 

    In einem ersten Schritt kann das Quadrat (a+b)² zerlegt werden: 

    $(a + b)^2=(a+b)(a+b) \$
    

    Die Klammern können nun aufgelöst werden:

    $(a + b)^2=(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 \$
    

    Die zwei Produkte ab und ba lassen sich zusammenfassen zu 2ab und wir erhalten das Endergebnis:

    $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\$
    

    Grafische Methode:

    Anschaulicher wird es wenn du die erste binomische Formel an einem Quadrat mit der Seitenlänge (a+b) betrachtest.

    

    
    

    Die Gesamtfläche A des Quadrats ist die Summe aus den Teilflächen a², ab, ba und b² . 

    Addiert man die Teilflächen und fasst man die Summanden zusammen ergibt sich: 

    Gesamtfläche A = Summe der Teilflächen = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

    Analog dazu lassen sich die zweite und dritte binomische Formel mithilfe der rechnerischen sowie grafischen Methode selber herleiten. Ich würde dir empfehlen diese erstmal selbstständig herzuleiten. Bei Rechenschwierigkeiten stehen dir die Lösungen zur Verfügung. Du schaffst das! 💪

    Und hier haben wir noch ein Video zusammengestellt, welches die Herleitung und ein Rechenbeispiel der ersten binomischen Formel behandelt - Film ab. 🎬
    

     
    

    Zweite binomische Formel: $(a - b)^{2}=a^2-2ab+b^2\$

    Rechnerische Methode: 

    Um die zweite binomische Formel rechnerisch herzuleiten, musst du den Term (a-b)² ausmultiplizieren.

    In einem ersten Schritt kannst du das Quadrat (a-b)² zerlegen: 

    $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

    Die Klammern kannst du nun auflösen: 

    $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2$
    

    Die zwei Produkte -ab und -ba lassen sich zu -2ab zusammenfassen und wir erhalten: 

    $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

    🎥 Im nachfolgenden Video erfährst du, wie man die zweite binomische Formel grafisch herleitet. Ein Beispiel gibt es gratis dazu. 😉
    

     

     
    

    Dritte binomische Formel: $(a + b)(a - b)=a^2 - b^2\$

    Rechnerische Methode: 

    Ähnlich wie bei den ersten und zweiten binomischen Formeln, multiplizieren wir das Produkt (a+b)(a-b) miteinander: 

    $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2$

    Die beiden Ausdrücke -ab und ba werden voneinander abgezogen und wir erhalten als Ergebnis: 

    $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$

    Im nachfolgenden Video wird die dritte binomische Formel grafisch hergeleitet. 🎥

     

     
    

    Wozu werden die drei binomischen Formeln angewendet? 🤔

    Die drei binomischen Formeln dienen zur Vereinfachung von Termen. Sie können sowohl zum Ausklammern  als auch zum Faktorisieren angewendet werden. 
    

    Beispiel 1: 

    Wie lässt sich der Term (3x+2)² ausmultiplizieren?

    Lösung: 

    Der Term (3x+2)² entspricht der ersten binomischen Formel mit a = 3x und b = 2.

    Wir erhalten dann : (3x+2)² = (3x)² + 2*3x*2 + 2² = 9x² + 12x + 4

    Beispiel 2: 

    Wie kann man den Term 4x²- 9 ausklammern? 

    Lösung: 

    Der Term entspricht der dritten binomischen Formel mit a = 2x und b = 3. 

    Wir erhalten dann: 4x²- 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3) * (2x + 3)

    Beispiel 3: 

    Wie lässt sich 17² ohne Taschenrechner berechnen? 

    Lösung : 

    Der Term 17² lässt sich in der Form umwandeln: (10+7)²

    Mithilfe der ersten binomischen Formel können wir den Term ausmultiplizieren und erhalten: (10+7)² = 10²+2*10*7+7² = 100+140+49 = 289

    Beispiel 4:

    Wie lässt sich das Produkt 53*47 ohne Taschenrechner berechnen? 

    Lösung: 

    Das Produkt 53*47 lässt sich in der Form umwandeln: (50+3)*(50-3)

    Mithilfe der dritten binomischen Formel können wir den Term ausmultiplizieren und erhalten: (50+3)*(50-3) = 50² - 3² = 2500 - 9 = 2491

    
    

  • 

    Binomische Formeln Test
  • • Bruchrechnung

    Bevor wir mit den Regeln zur Bruchberechnung richtig loslegen, gibt´s erstmal Schokokuchen 🎂 und Orangensaft 🥃. In diesem Bruchrechenspiel kannst du durch Kombinieren von Formen und Zahlen Sterne ✨ gewinnen. Na looos, wie viele kannst du sammeln? 💪

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    In  👉 dieser Simulation 👈  kannst du dich ausprobieren!
    

    Wie kann man nun Brüche addieren, multiplizieren, subtrahieren oder dividieren? Das Ganze gucken wir uns jetzt an. 👇

    Bei der Addition oder Subtraktion von Brüchen musst du zwischen zwei Fällen unterscheiden. Entweder sind die Nenner gleich (gleichnamige Brüche) oder ungleich (ungleichnamige Brüche). 

    Regel: Gleichnamige Brüche lassen sich einfach addieren oder subtrahieren. Dabei werden Zähler addiert oder subtrahiert und der gemeinsame Nenner beibehalten.

    
    

    Beispiel:
    
    

      $\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$  oder  $\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}$

    
    

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    Dieses 👉 YouTubeVideo 👈 zeigt dir wie du Brüche addieren, erweitern oder kürzen kannst: 

    Wie lassen sich aber Brüche mit verschiedenen Nennern (ungleichnamige Brüche ) addieren oder subtrahieren? 🤔

    
    Regel: Will man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren, muss man einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) suchen.
    
    Beispiel: 
    
    $\frac{5}{7}+\frac{3}{4}$ 
    
    Die Nenner hier sind 7 und 4. Am leichtesten kann man den gemeinsamen Nenner finden, indem man diese beiden Nenner miteinander multipliziert. 
    Somit ist der gemeinsame Nenner : 7*4 = 28. 
    
    $\frac{}{28}+\frac{}{28}$
    
    

    Was macht man jetzt mit den Zählern ?

    Die einfachste Methode ist: den ersten Zähler mit dem zweitem Nenner multiplizieren und den zweiten Zähler mit dem erstem Nenner multiplizieren.
    
    
    
    Wir erhalten dann: 
    
    $\frac{20}{28}+\frac{21}{28}=\frac{41}{28}$
    
    
    

    Wie kann man mehrere Brüche addieren oder subtrahieren? 🤔

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    Hier haben wir dir noch ein 👉 YouTube Video 👈verlinkt, in welchem dir gezeigt wird wie du viele Brüche mit unterschiedlichen Nennern miteinander addieren oder subtrahieren kannst. 

    Bruchmultiplikation: 
    
    Brüche lassen sich einfach multiplizieren, indem Nenner und Zähler miteinander multipliziert werden.
    
    Beispiel: 
    
    $\frac{5}{7}*\frac{1}{4}=\frac{5}{28}$
    
    Bruchdivision: 
    
    Du kannst Brüche dividieren, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.
    
    Beispiel: 
    
    $\frac{3}{4}:\frac{5}{7}=\frac{3}{4}*\frac{7}{5}=\frac{21}{20}$
    
    
  • 

    Bruchrechnung Test
  • • Potenzen

    Was sind Potenzen und wofür brauchen wir sie? 🤔

    Potenzen werden überall gebraucht. Damit kannst du Volumen, Flächen oder Zinsen berechnen. 

    Dabei geht es darum, eine Zahl mit sich selber mehrmals zu multiplizieren. Die untere große Zahl nennt sich Basis und die obere kleine Zahl nennt man Exponent. 
    

    
    

    Praxisbeispiel:

    In einer Hydraulischen Presse wandelt sich Graphit in Diamant bei einem Druck von bis zu 6 Milliarden Pascal um. 

    Problem: Eine 6 mit 9 Nullen... da hat keiner Bock drauf, oder? 😒

    Lösung: Um diese Größe übersichtlicher darzustellen nutzt man die wissenschaftliche Schreibweise. Diese sieht dann so aus : 6*10⁹ Pascal.

    Dabei werden Zahlen als Produkt aus einer rationalen Zahl und einer Zehnerpotenz dargestellt. Der erste Faktor wird dabei als Mantisse, die hochgestellte Zahl des zweiten Faktors als Exponent bezeichnet. 

    In diesem Video erfährst du alles über die wissenschaftliche Notation 👊

    Weitere Informationen über die wissenschaftliche Schreibweise oder die Normdarstellung findest du im Physikkurs 😉 

    Wie kann man jetzt mit Potenzen rechnen? 🤨

    Um Terme mit Potenzen zu berechnen, sind folgende Regeln zu beachten: 

    Regel Nr. 1: 

    Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis, wird die Basis beibehalten und die beiden Exponenten addiert. 

    Formel: 

    $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$

    Beispiel: 
    

    $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$

    Regel Nr. 2: 

    Bei Potenzen mit gleichen Exponenten aber verschiedenen Basen, werden die Basen miteinander multipliziert. Der Exponent bleibt dabei unverändert erhalten. 

    Formel: 

    $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$

    Beispiel: 

    $3^3 \cdot 2^3 = (3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216$

    Regel Nr. 3: 

    Potenzen werden potenziert, indem der innere Exponent mit dem äußeren multipliziert wird. Dabei bleibt die Basis gleich. 

    Formel: 

    $(x^n)^m = x^{n \cdot m}$

    Beispiel: 

    $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$

    Regel Nr. 4: 

    Wenn ein Bruch aus Potenzen besteht, die den gleichen Exponent haben, werden die Basen durcheinander dividiert. Der gemeinsame Exponent wird dabei als Hochzahl genutzt. 

    Formel: 

    $\dfrac{x^n}{y^n} = (\dfrac{x}{y})^n$

    Beispiel: 

    $\dfrac{6^2}{3^2} = (\dfrac{6}{3})^2 = 3^2 = 9$

    Regel Nr. 5: 

    Besteht ein Bruch aus Potenzen mit gleichen Basen aber verschiedenen Exponenten, werden die Basen beibehalten und die Exponenten subtrahiert. 

    Formel: 

    $\dfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$

    Beispiel: 

    $\dfrac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25$

    Regel Nr. 6: 

    Bei negativen Exponenten werden die Kehrwerte der Zahlen gebildet.  

    Formel: 

    $(\dfrac{x}{y})^{-n} = (\dfrac{y}{x})^n$

    Beispiel: 
    

    $(\dfrac{3}{5})^{-4} = (\dfrac{5}{3})^4$

    
    

  • 

    Potenzen Test
  • • Wurzeln

    Was ist Wurzelziehen und wie kannst du damit berechnen ? 🙄

    Frage: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert eine 9?  

    Antwort: Die richtige Antwort ist 3. Die 3 ist also die Quadratwurzel aus 9.

    Mathematisch ausgedruckt sieht es so aus : 

    Dabei wird die 2 Wurzelexponent und die 9 Radikand genannt. 

    
    

    Bei Quadratwurzeln, also Wurzeln mit dem Wurzelexponent 2, wird der Wurzelexponent meistens nicht angegeben. Der Wurzelexponent ist automatisch gleich 2 wenn dieser nicht angezeigt wird 🧐

    Beispiel: 

    $\sqrt[2]{9} = \sqrt{9} = 3$

    Im Bereich IR gibt es keine Zahl die mit sich multipliziert eine negative Zahl ergibt. Aus diesem Grund kannst du die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen. Der Radikand darf also nur positiv sein, wobei $\sqrt{0} = 0$. Im Bereich der imaginären Zahlen darf der Radikand auch negativ sein, weil dort die Wurzel aus -1 mit 1i definiert ist.

    Wie kann ich jetzt Terme mit Wurzeln berechnen? 🤔

    Wie beim Potenzieren, sind für den richtigen Umgang mit Wurzeltermen ein paar Regeln zu beachten 👇

    Regel Nr. 1: 

    Eine Wurzel kannst du in eine Potenz umwandeln. Dabei entspricht der Nenner des Bruches dem Wurzelexponent (hier n) und der Zähler der Hochzahl des Radikanden (hier m).

    Formel: 

    $\sqrt[n]{x^m}= x^{\frac{m}{n}}$
    

    Beispiel: 

    $\sqrt[2]{4} = 4^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}}=2$
    

    Regel Nr. 2: 

    Wurzeln mit gleichen Exponenten kannst du multiplizieren, indem du die Radikanden  multiplizierst und den Exponent beibehältst. 

    Formel: 

    $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x \cdot y}$
    

    Beispiel: 

    $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5 \cdot 25}=\sqrt[3]{5^{3}}= 5$

    Regel Nr. 3: 

    Wurzeln mit gleichen Exponenten kannst du dividieren, indem du die Radikanden dividierst und den Exponent beibehältst.

    Formel: 

    $\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}$

    Beispiel: 

    $\dfrac{\sqrt[2]{72}}{\sqrt[2]{2}}=\sqrt[2]{\dfrac{72}{2}}=\sqrt[2]{36}=\sqrt{6^{2}}=6$
    

    Regel Nr. 4: 

    Beim Potenzieren von Wurzeln, kannst du den äußeren Exponenten einfach unter die Wurzel ziehen. Dabei wird der Radikand auch potenziert.

    Formel: 

    $(\sqrt[m]{x})^{n}= \sqrt[m]{x^{n}}= x^{\frac{n}{m}}$
    

    Beispiel: 

    $(\sqrt[4]{5})^4 = \sqrt[4]{5^{4}}=\sqrt[4]{625}=\sqrt[4]{5^{4}}=5$

    Regel Nr. 5: 

    Wurzeln kannst du radizieren, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst und den Radikand beibehältst.

    Formel: 

    $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$
    

    Beispiel: 

    $\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2 \cdot 3]{64}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^{6}}=2$
    

    Hier ist nochmal eine Zusammenfassung der fünf wichtigsten Regeln zur Wurzelberechnung: 

    
    

    Regel Nr. 1: $\sqrt[n]{x^m}= x^{\frac{m}{n}}$

    Regel Nr. 2: $\sqrt[n]{x} * \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x*y}$

    Regel Nr. 3: $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{x*y}$

    Regel Nr. 4: $(\sqrt[m]{x})^n = \sqrt[m]{x^n}$

    Regel Nr. 5: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m n]{x}$

    
    

    Der nachfolgende Link führt zu einer externen Internetseite, die ggf. andere Datenschutzvorgaben erfüllt als wir es auf dieser Plattform tun. Dabei können Daten von dir übertragen und weiterverarbeitet werden. Wenn du dich allgemein zum Thema Datenschutz erkundigen möchtest, empfehlen wir dir die Erklärvideos der Initiative Datenschutz geht zur Schule.

    Mit diesem 👉  Learning Snack 👈  kannst du dein bisheriges Wissen über Wurzeln prüfen. 💪

  • 

    Wurzeln Test
  • • Logarithmen

    
    

    Was sind Logarithmen, das Wort verrät nicht viel?! 🤔

    Der Logarithmus oder „log()“ einer Zahl zeigt dir an, mit welcher Zahl du eine zuvor festgelegte Zahl „hochnehmen“, also potenzieren musst, um ein bestimmtes Zahlenergebnis zu erhalten. 💡
    

    Mit Hilfe von Gleichungen ausgedrückt könnte man sagen:

    Du suchst in der Gleichung $z^{y} = x$ das $y$? Dann ist die Antwort: $y = \log_{z}({x})$ .

    Mit einfachen Zahlen sähe es so aus:

    $2^{y} = 8 \rightarrow y = \log_{2}({8}) = 3$. Du musst also die 2 mit 3 potenzieren, um auf 8 zu kommen, $2^{3}$.

    Der Logarithmus funktioniert aber auch mit Kommazahlen und Brüchen. Nur null und negative Zahlen ($\leq 0$) kann man im reellen Zahlenraum in den Logarithmus nicht einsetzen, da diese nicht definiert sind. Außerdem darf die Basis nicht $\leq$ 0 oder exakt 1 sein. Digitale Rechner oder dein Taschenrechner zeigen dir in solchen Fällen einen Fehler an.

    In unserem Beispiel wäre 2 die „Basis“ und 8 der „Numerus“. Man sagt also: Man nimmt den Logarithmus zur Basis zwei für den Numerus (oder oft einfach nur „der Zahl“) acht. Die meistbenutzten Basiszahlen sind wohl 10, 2 und $e$, die eulersche Zahl (~2,7). Den Logarithmus einer Zahl zur Basis 10 nennt man „dekadischen Logarithmus“, den zur Basis $\textbf{e}$ nennt man den „natürlichen Logarithmus“. Oft werden verschiedene Kurzschreibweisen benutzt, wie lg() für den dekadischen und ln() für den natürlichen Logarithmus.

    Rechenregeln für Logarithmen

    Da Logarithmen recht speziell sind, gibt es für sie besondere Rechengegeln:

    
    

    Log(1):
    

    Der Logarithmus mit einer beliebigen Basis $b$ zu der Zahl 1 ist immer 0, da eine beliebige Zahl hoch 0 immer 1 ist:

    $\log_{b}{1} = 0 \rightarrow b^{0} = 1$ (erlaubte Werte von $b$ siehe oberer Abschnitt).

    
    

    Umkehrfunktion:
    Man kann den Logarithmus als eine Umkehrfunktion zum Potenzieren verstehen. Wir haben eben gesagt, dass ln() einen Logarithmus zur Basis $e$ bezeichnet. Wenn wir uns jetzt also vorstellen, wir würden $e^{ln(x)}$ haben, dann würden sich das Potenzieren und das Logarithmieren aufheben, und das Ergebnis ist einfach nur $x$. Dasselbe funktioniert mit $ln(e^{x}) = x$. Wenn also die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz identisch sind (hier: $e$), dann heben sie sich auf.  

    
    

    Produkte:

    Kannst du den Numerus in Faktoren zerlegen (oder hast bereits ein Produkt vorliegen), gilt:
    

    $\log_{b}({x \cdot y}) = \log_{b}{x}+ \log_{b}{y}$

    Es können beliebig viele einzelne Faktoren sein, die Summe bekommt dann dementsprechend mehr Summanden.

    
    

    Quotienten:

    Was für die Produkte gilt, gilt so ähnlich bei Quotienten:

    $\log_{b}{(\frac{x}{y})} = \log_{b}{x}-\log_{b}{y}$

    
    

    Potenzen: 

    Für Potenzen mit reellem Exponent $x$ gilt:

    $\log_{b}{(a^x)} = x \cdot \log_{b}{(a)}$

    
    

    Wurzeln:
    

    Wurzeln sind den Potenzen ähnlich:

    $\log_{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{1}{n}\cdot \log_{b}{(a)}$

    
    

    Basisumrechnung:

    Wenn du einen Logarithmus einer Zahl von einer Basis zu einer anderen Basis ändern willst, geht das so:

    $\log_{a}{x}= \frac{\log_{b}{x}}{\log_{b}{a}}$

    Beispiel:

    $\log_{2}{8}= \frac{\log_{10}{8}}{\log_{10}{2}} = 3,322 \cdot \log_{10}{8} = 3$

    Der Unterschied eines Logarithmus für einen bestimmten Numerus zwischen zwei Basen ist so gesehen also "nur" ein Faktor.

    TIPP:
    

    Falls dein Taschenrechner nur einen bestimmten Logarithmus einer nicht veränderlichen Basis ausrechnen kann, kannst du dir so helfen! Dein Taschenrechner kann als Beispiel nur dekadische Logarithmen zur Basis 10 rechnen, du sollst aber einen Logarithmus naturalis zur Basis $e$ für die Zahl 15 ausrechnen, also machst du folgendes:

    $\frac{\log_{10}{15}}{\log_{10}{e}}$ und schon hast du das selbe Ergebnis, was dir $ln(15)$ gegeben hätte!
    

    
    

    Anwendungen für Logarithmen

    Eine praktische Anwendung für Logarithmen nutzt zum Beispiel die Produkt-Rechenregel aus: Da ein Produkt im Numerus in einer Summe von Logarithmen dargestellt werden kann, kann so aus einer rechenintensiven eine leichte Gleichung gemacht werden. Für Computer kann das (bei millionen Rechenoperationen) praktisch sein.

    
    

    Eine anschaulichere Anwendung, die du vielleicht auch schon mal gesehen hast, sind logarithmische Skalen oder Achsen in Graphen. Zum Beispiel bei Prozessen, die zuerst sekündlich Änderungen zeigen, dann aber lange Zeit scheinbar gleich bleiben, nur um sich über Tage später noch, ganz langsam, zu ändern. Wenn man diese Änderungen in Sekunden mit den Änderungen über mehrere Tage irgendwie sinnvoll in einem Diagramm darstellen will, kann man die Zeitachse logarithmisch darstellen. Eine Einheit wäre dann bspw. $10^{x}$ Sekunden, so dass sich im ersten Bereich $10^{1}=10$ Sekunden, im nächsten $10^{2}=100$, im wieder nächsten schon $10^{3}=1000$ Sekunden befinden usw. Diese Verzerrung durch die Potenzen gleicht die logarithmische Skala wieder aus (denk an die Umkehrung von Potenzen durch Logarithmen 😏) und das Diagramm ist ordentlich lesbar, obwohl es Sekunden und Tage in einem abbilden kann!

    
    

    

    
    

    
    

    
    

    Mehr zum Thema logarithmische Darstellungen in Diagrammen findest du hier.
    
  • • Exkurs: Bohrtechnik

    Mathematische Grundlagen in der Praxis:
    Wie bereits zu Beginn erwähnt, ist mathematisches Verständnis und die Anwendung davon ein nützliches Werkzeug 🛠 im Alltag und insbesondere in natur- und ingenieurwissenschaftlichen Berufen. 📐 ✏️
    Um dir einen Einblick in die praktische Anwendung zu geben, haben wir uns ein besonderes Thema herausgesucht und einen Exkurs zum Thema Bohrtechnik erstellt 🔩
    Wenn du dich also neugierig bist wie mathematische Grundlagen angewendet werden können, dann schau dir unseren Exkurs an. 👇
    

    
    

    Hast du dir schon mal die Frage gestellt, wie man vorgeht, wenn man einen Tunnel baut, Leitungen verlegt, Trinkwasser gewinnt oder Bauaktivitäten und Verkehrswege plant⁉️

    All diesen Tätigkeiten und noch vielen weiteren gehen verschiedene Bohrungen voraus, die dazu dienen Informationen über die Güte und Beschaffenheit des Untergrunds zu sammeln 🔍

    
    

    In der Bauindustrie prüft man beispielsweise mittels sogenannte Sondierbohrungen ob der Baugrund tragfähig ist. Mithilfe von Sprenglochbohrungen können beim Bau von Verkehrswegen in felsigem Untergrund kleine Sprenglöcher gebohrt werden um Hindernisse zu beseitigen. Mittels Injektionsbohrungen können Abdichtungen vor fließendem Wasser errichtet und somit Bauwerke auch nachträglich abgedichtet werden. Baugruben, Talsperren und Brückenpfeiler können abgesichtert werden, indem man mittels Ankerbohrungen Ankerkonstruktionen in das Bohrloch einbringt und befestigt.
    
    Im Bergbau, Tunnel- und Stollenbau werden zum Beispiel Aufschlussbohrungen - die sowohl senkrecht auf- und abwärts als auch horizontal oder geneigt gebohrt werden - zur Erkundung von Kohlenwasserstoffen (z.B. Öl, Gas), Mineralien (z.B. Erze, Salze) und zur Speicherung von gasförmigen und flüssigen Produkten (z.B. Wasserstoff, Helium, Erdgas, Erdöl, usw.) im Untergrund genutzt. Mittels Schachtbohrungen werden für den Bergbau, die Kalk- und Zementindustrie Großbohrlöcher gebohrt, verrohrt und später als Versorgungs- oder Fahrschächte genutzt.
    

    Bei der Erschließung des Untergrundes mit Einzelbohrungen und mehreren Bohrungen muss darauf geachtet werden, dass ein dreidimensionales Verständnis des Bohrloches vorhanden ist. Das dreidimensionale Verständnis ist wichtig, da ein Bohrloch nicht perfekt senkrecht nach unten gebohrt wird sondern auch bewusst abgelenkt ("schräg") gebohrt werden kann. Insbesondere wenn mehrere tiefe Bohrungen gebohrt werden ist es wichtig, dass sich die Bohrungen im Untergrund nicht treffen. 

    Bohrungen dienen jedoch nicht nur der Erkundung von Materialien sondern können auch zur Rettung von unter Tage eingeschlossenen Bergleuten oder Tunnelbauer:innen dienen. Mit Hilfe von Suchbohrungen wird nach den vermissten Personen gezielt in Räumen gesucht, die als Fluchtorte in Frage kommen. Hat man die Personen gefunden kann man sie zunächst mittels Versorgungsbohrungen versorgen bis die Bergungsbohrung fertiggestellt ist. Mittels sogenannte Rettungsbomben werden die Eingeschlossenen durch das Bohrloch geborgen. Die wohl bekannteste Rettungsbombe ist die Dahlbuschbombe, die auf dem Bergwerk Dahlbusch in Gelsenkirchen entwickelt wurde.
    

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    Wenn du mehr über die Dahlbuschbombe erfahren möchtest, dann schau dir doch mal dieses Video des Deutschen Bergbau-Museums an. 📽
    

    Weitere Anwendungsfälle für die Durchführung von Bohrungen sind die Wasserversorgung und der Brunnenbau, das Entwässern von Tagebauen oder das temporäre Absenken des Wasserspiegels bei der Erstellung von Bauwerken, das Einrichten von Grundwassermessstellen zu Kontrollzwecken, die Erkundung neuer Deponie-Standorte oder Lagerstätten, die Stabilisierung von Untergrund u.v.m.
    

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    Wenn nun dein Interesse an der Verbindung von mathematisch-technischem Bauingenieurwesen mit Aspekten der Umwelt geweckt wurde, dann schau dir doch einmal den Bachelorstudiengang Geotechnik und Angewandte Geologie, Bau- und Umweltgeotechnik an!
    

    Berechnungen bei Bohrarbeiten

    Bei der Durchführung von Bohrarbeiten ist es immer wieder notwendig, einzelne Berechnungen durchzuführen ✏️ 📐
    In erster Linie findet hier die Anwendung mathematischer Grundlagen statt und es werden einfache mathematische Operationen durchgeführt, die z.B. zum Errechnen von Rohreinbaulängen oder Gestängelängen dienen. Bei Zementierungsarbeiten sind die benötigten Mengen an Zementbrei, Zement und Wasser zu berechnen.
    Hierbei finden mathematischen Formeln Anwendung, da der Rauminhalt von Hohlkörpern berechnet werden muss oder Festigkeiten oder Gewichte bestimmt werden.
    Spezielle Tabellen, Faustregeln und Überschlagrechnungen helfen dabei, die Größenordnung einer Arbeit oder deren ungefähre Zeitdauer zu bestimmen.
    

    
    

    Um aber den Erfolg einer Bohrung und die Sicherheit von Mitarbeiter:innen zu gewährleisten, müssen mathematisch exakte Berechnungen stattfinden. 

    
    Bei der exakten Planung einer durchzuführenden Arbeit, geht es zunächst um die Berechnung der benötigen Gewichte oder Mengen. Wichtig ist es hierbei, dass Ingenieur:innen fit in den technischen Einheiten sind 💡

    
    

    Weitere Informationen zu Messwerten & Einheiten findest du im Physikkurs 
    

    Um deine Kenntnisse und dein Wissen für die späteren Berechnungen aufzufrischen, gibt es an dieser Stelle noch mal eine kurze Wiederholung zu den benötigten technischen Einheiten und Fomeln. Wenn du die Grundlagen bereits beherrschst kannst du den Teil natürlich auch überspringen und direkt zu den Aufgaben übergehen. 🤯 😎

    
    

    Einheiten

    '' = Zoll
    

    mm = Millimeter

    dm = Dezimeter

    m = Meter

    km = Kilometer

    ha = Hektar

    a = Ar

    l = Liter

    gr = Gramm

    kg = Kilogramm

    t = Tonne

    
    

    Länge

    1 km = 1.000 m
    

    1 Zoll = 1 '' = 25,4 mm

    
    

    Fläche

    1 km² = 100 ha
    

    100 ha = 10.000 a

    10.000 a = 1.000.000 m²

    1 a = 100m²

    
    

    Körper

    1 m³ = 1.000 dm³

    1 dm³ = 1.000 cm³ = 1 l

    
    

    Masse

    1 t = 1.000 kg

    1 kg = 1.000 gr

    1 dm³ = 1 l Wasser

    1 l Wasser = 1 kg

    1 m³ Wasser = 1 t

    
    

    💡 Tipp: Bei Berechnungen werden die einzelnen Größen oft in verschiedenen Einheiten angegeben. 🛑 Das Verwechseln der Einheiten ist einer der häufigsten Rechenfehler‼️
    Da du diesen Fehler jetzt kennst weißt du bestimmt auch, dass du bei verschiedenen Einheiten diese umrechnen musst und die Rechnungen so mit nur einer Dimensionsgröße löst. 🧐

    Da wir uns mit Mengen und Gewichten und (runden) Bohrlöchern beschäftigen gibt es hier auch noch mal eine kurze Wiederholung passender Formeln:

    
    

    Flächen Berechnung

    Für die Berechnung eines Rechtecks gilt:

    Umfang U = Länge + Länge + Breite + Breite = a + a + b + b = 2a + 2b

    Fläche = Länge*Breite = a*b
    

    
    

    Für die Berechnung eines Quadrats gilt:

    Umfang U = Länge + Länge + Breite + Breite = a + a + a + a = 4a
    Fläche A = Länge*Breite = a*a = a^2

    
    

    Für die Berechnung eines Kreises gilt:

    Durchmesser  d = 2*r
    Umfang U = 2*pi*r oder U = d*pi

    
    

    Volumen Berechnung
    

    Für die Berechnung des Volumens eines Rechtecks gilt:
    V = Länge*Breite*Höhe = a*b*h
    

    
    

    Für die Berechnung des Volumens eines Würfels gilt:
    V = Länge*Breite*Höhe = a*a*a = a^3
    

    
    

    Für die Berechnung des Volumenseines Zylinders gilt:
    V = Kreisfläche*Höhe =pi*r^2*h
    

    
    

    Nun bist du gut gewappnet für die Übungen. 🥳 Auf geht's zu den Übungsaufgaben! ⬇️
  • 

    Anwendung mathematischer Grundlagen in der Bohrtechnik Test
  • Wenn du alle Abschnitte zu den mathematischen Grundlagen bearbeitet hast, kannst du dein Wissen nun weiter vertiefen, indem du den nachfolgenden Abschlusstest zu den mathematischen Grundlagen absolvierst 💪
    
  • 

    Abschlusstest Mathematische Grundlagen