Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an und wird mit einem ´ gekennzeichnet. Bei einfachen Funktionen kann die Steigung auch mit dem Steigungsdreieck berechnet werden, am besten auf kariertem Papier.
Für das Steigungsdreieck selbst gilt
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
wobei m die Steigung ist. Und da sich die Steigung eines Polynoms 1. Ordnung nicht ändert ist offensichtlich, dass bei gegebenem f(x) gilt:
f(x) = mx + b = 1*x + 2
f´(x) = m = 1
Für x kann jetzt also jeder beliebige Wert eingesetzt werden und die Steigung ist immer m = 1. Bei Polynomen 1. Ordnung ist das problemlos, weil die gewählten Wertepaare (x0/y0) und (x1/y1) unabhängig voneinander sind. Sie sind also frei wählbar.
Dies kann durch Einzeichnen einer Geraden durch die beiden Wertepaare veranschaulicht werden: Bei Polynomen 1. Ordnung liegt die Gerade genau auf der Funktion, bei anderen Funktionen schneidet die Gerade die Funktion zweimal. Sie wird dann auch Sekante genannt.
Die Ableitungsfunktion ist wie gesagt dadurch gegeben, dass sie die Steigung der Funktion selbst in jedem Punkt ist. Die Steigung in einem Punkt ist wiederum gleich der Steigung der Tangente an diesem Punkt, und die Tangente kann als Grenzfall der Sekante dargestellt werden.
Wenn die zwei Wertepaare der Sekante (x0/y0) und (x1/y1) sich also so sehr annähern, dass sie eigentlich aufeinander liegen, schneidet die Sekante die Funktion nur noch in einem Punkt und ist eine Tangente.
Richtig ausgedrückt lautet die Formel
Damit kann also die Ableitung an einem Punkt berechnet werden, um die ganze Funktion abzuleiten kann die h-Methode verwendet werden:
Dabei ist h = x1 - x0 der Abstand der Schnittpunkte der ursprünglichen Sekante. Und wenn der Abstand = 0 ist wird aus der Sekante eine Tangente. Außerdem gilt damit die Formel an allen Stellen der Funktion gleichermaßen.
Wie lassen sich Funktionen ableiten ? 🙄
Bevor du mit der Ableitung komplexer Funktionen loslegst, ist es vorab einmal wichtig, die Ableitungen elementarer Funktionen zu kennen. Diese sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst 👊
Um Funktionen abzuleiten, die aus einer Kombination elementarer Funktionen bestehen, musst du die folgenden Ableitungsregeln nutzen 🤓
1- Faktorregel:
Beim Ableiten, bleibt ein
konstanter Faktor unverändert erhalten.
Formel:
Beispiel:Die Funktion
f(x) lässt sich in der Form
schreiben:
mit Da
der
konstante Faktor 4 erhalten bleibt, erhalten wir die Ableitungsfunktion:
2- Summenregel:Bei einer Funktion, die aus einer Summe aus
zwei oder mehreren Funktionen besteht, wird die Ableitung gebildet, indem man jede Funktion
einzeln ableitet und diese am
Ende einfach addiert.
Formel:
Beispiel:
Mithilfe der
Summenregel, können wir die Funktion
f(x) in den zwei Teilfunktionen
m(x) und
n(x) zerlegen, die wir dann
einzeln betrachten können
:
und
Die
Ableitungen der
Teilfunktionen sind dann :
und
Wir erhalten somit die
Ableitungsfunktion:
3- Potenzregel:
Bei einer Potenzfunktion, wird die Ableitungsfunktion gebildet, indem der Exponent als Vorfaktor runtergesetzt und dieser um -1 verringert wird.
Formel:
Beispiel:
Die
Potenzfunktion f(x) hat als
Exponent die Zahl 5.
Bei der neuen Ableitungsfunktion steht die 5 als Vorfaktor. Der neue Exponent ist der um -1 verringerte alte Exponent. Also in diesem
Fall eine 4.
Wir erhalten dann die folgende Ableitungsfunktion:
4- Produktregel:
Bei einer Funktion, die aus einem Produkt aus
zwei oder
mehreren Funktionen besteht, können die
Faktoren einzeln betrachtet
werden.
Formel:
Beispiel:
Die Funktion
f(x) können wir in den zwei Funktionen
g(x) und
k(x) zerlegen, die wir
einzeln ableiten: und
Mithilfe
der
Produktregel, können wir dann die
Ableitungsfunktion f´(x) formulieren:
Wie kann eine Funktion abgeleitet werden, die nicht nur aus 2 sondern 3 oder mehrere Produktfaktoren besteht ? 🙄
In diesem Fall wird jeder Faktor abgeleitet und mit den anderen ursprünglichen Faktoren multipliziert. Die Produkte werden dann zusammenaddiert.
Formel für die Produktregel für 3 Faktoren:
Beispiel:
In unserem Beispiel können die Funktionen identifiziert werden.
Ihre Ableitungsfunktionen lauten: .
Wird jede Ableitungsfunktion mit den anderen ursprünglichen Funktionen multipliziert und zusammenaddiert, erhalten wir die so weit wie möglich vereinfachte Ableitungsfunktion:
5- Quotientenregel:
Bruchfunktionen lassen sich mithilfe der Quotientenregel ableiten. Hier können wir die
Zähler- sowie
Nennerfunktion einzeln ableiten und am Ende zusammenfügen.
Formel:
Beispiel:
Aus der Funktion
f(x) können wir die zwei Teilfunktionen
g(x) und
k(x) identifizieren:
und
Diese
können wir dann einzeln ableiten:
und
Mithilfe der Quotientenregel können wir nun die Ableitungsfunktion f´(x) bilden:
6- Kettenregel:
Zusammengesetzte Funktionen werden mithilfe der
Kettenregel abgeleitet. Hier wird die
innere Ableitung mit der
äußeren Ableitung multipliziert.
Formel:
Beispiel: Bei dieser Funktion, solltest du zum Anfang die
innere Funktion und die
äußere Funktionen identifizieren
und diese jeweils ableiten.
In unserem Beispiel, ist die
innere Funktion:
abgeleitet ergibt
: Die
äußere Funktion ist
abgeleitet ergibt:
Beide
Ableitungen
v´(x) und
u´(v(x)) werden nun miteinander multipliziert und ergeben die Ableitungsfunktion:
Wie lässt sich eine verkette Funktion ableiten, die aus 3 oder mehrere Verkettungen besteht ? 🙄
In diesem Fall, solltest du jede einzelne Funktion identifizieren und einzeln ableiten. Diese werden dann miteinander multipliziert.
Formel für die Kettenregel für 3 Verkettungen: Beispiel: Wie lautet die Ableitung der Funktion
?
In unserem Fall, ist die Funktion dreifach verkettet:
Laut der oben genannten Formel sind die folgenden Ableitungen zu bilden:
Diese werden miteinander multipliziert und ergeben die Ableitungsfunktion:
Das wärs erstmal zu den Ableitungsregeln. Mit diesem Wissen solltest du alle Funktionstypen ableiten können 🤓
Eine Zusammenfassung der 6 Ableitungsregeln findest du hier 👇
1- Faktorregel: 2- Summenregel: 3- Potenzregel: 4-Produktregel: 5- Quotientenregel: 6- Kettenregel: